EXERCICES
FVR IV.43
Montrer que si, dans J, v est inversible, w = UV-l est intégrale de l'équation dzldt =
b(t) + a(t)z - zd(t) - ac(t)z (<( équation de Riccati O); réciproque. En déduire que toute
intégrale de cette derniére équation dans J, prenant la valeur xo au point to, est de la forme
(A(t)xo + B(t)e)(C(t)xo + D(t)e)-l, où A(t), B(t), C(t) et D(t) sont des applications continues de J dans 9 ( G ) vérifiant l'identité U. (xy) = (U.x) y.
d) Soit w, une intégrale de dzldt = b(t) + a(t)z - zd(t) - zc(t)z dans J ; montrer que, si
w est une autre intégrale de cette équation telle que w - wl soit inversible dans J, w - W,
s'exprime à l'aide des intégrales des équations dxldt = - (ci + cw,)x et dxldt = x(a - wlc)
(considérer l'équation à laquelle satisfait (w - wl) -l, et utiliser b ) ) .
9) Soient y, (1 < k < n) n fonctions numériques définies dans un intervalle 1 c R et
admettant dans 1 une dérivée (n - 1)-ème continue.
a) Montrer que si les n fonctions y, sont linéairement dépendantes, la matrice
( ~ & ~ ' ( t ) ) ~ < ~ < ~ - l ,
1 < k 4
est de rang < n en tout point t E 1.
b) Inversement, si pour tout t E 1, la matrice (yr)(t)) est de rang < n, montrer que dans tout
intervalle ouvert non vide J c 1, il existe un intervalle ouvert non vide U c J tel que les
restrictions des y, à U soient linéairement dépendantes (si est le plus petit des nombres
q < n tels que les wronskiens de q quelconques des fonctions yk soient identiquement nuls
dans J, considérer un point a E J où le wronskien de fi - 1 des fonctions y, n'est pas nul, et
montrer que p des fonctions y, sont intégrales d'une équation linéaire d'ordre p - 1 dans un
voisinage de a).
c) On pose yl(t) = t2 pour t E R, yz(t) = t2 pour t 2 0, y2(t) = -tZ pour t < O; montrer
que y, et y, admettent une dérivée continue dans R et que ylya - y2y; = O, mais que yl et y,
ne sont pas linéairement dépendantes dans R.
* 10) Soit t~ X(t) une application d'une intervalle J c R dans l'espace des matrices
complexes d'ordre n. On suppose que la dérivée t t+ Xf(t) existe et est continue dans J, et
est telle que X(t)X'(t) = X'(t)X(t) pour tout t E J.
a) O n suppose en outre que, pour tout t E J, les valeurs propres de X(t) sont distinctes.
Montrer qu'il existe alors une matrice inversible constante Po tel que PoX(t)P;l = D(t), où
D(t) est une matrice diagonale, de sorte que X(tl) et X(tz) sont permutables pour tout couple
de valeurs tl, ta de t dans J. (Écrire X(t) = P(t) D(t) P(t) - l au voisinage de chaque point de
J et former l'équation différentielle satisfaite par P(t).)
b) La matrice
/ t2
t3
t4 \
est permutable à sa dérivée, mais la conclusion de a) n'est pas valable..
FVR IV.43
Montrer que si, dans J, v est inversible, w = UV-l est intégrale de l'équation dzldt =
b(t) + a(t)z - zd(t) - ac(t)z (<( équation de Riccati O); réciproque. En déduire que toute
intégrale de cette derniére équation dans J, prenant la valeur xo au point to, est de la forme
(A(t)xo + B(t)e)(C(t)xo + D(t)e)-l, où A(t), B(t), C(t) et D(t) sont des applications continues de J dans 9 ( G ) vérifiant l'identité U. (xy) = (U.x) y.
d) Soit w, une intégrale de dzldt = b(t) + a(t)z - zd(t) - zc(t)z dans J ; montrer que, si
w est une autre intégrale de cette équation telle que w - wl soit inversible dans J, w - W,
s'exprime à l'aide des intégrales des équations dxldt = - (ci + cw,)x et dxldt = x(a - wlc)
(considérer l'équation à laquelle satisfait (w - wl) -l, et utiliser b ) ) .
9) Soient y, (1 < k < n) n fonctions numériques définies dans un intervalle 1 c R et
admettant dans 1 une dérivée (n - 1)-ème continue.
a) Montrer que si les n fonctions y, sont linéairement dépendantes, la matrice
( ~ & ~ ' ( t ) ) ~ < ~ < ~ - l ,
1 < k 4
est de rang < n en tout point t E 1.
b) Inversement, si pour tout t E 1, la matrice (yr)(t)) est de rang < n, montrer que dans tout
intervalle ouvert non vide J c 1, il existe un intervalle ouvert non vide U c J tel que les
restrictions des y, à U soient linéairement dépendantes (si est le plus petit des nombres
q < n tels que les wronskiens de q quelconques des fonctions yk soient identiquement nuls
dans J, considérer un point a E J où le wronskien de fi - 1 des fonctions y, n'est pas nul, et
montrer que p des fonctions y, sont intégrales d'une équation linéaire d'ordre p - 1 dans un
voisinage de a).
c) On pose yl(t) = t2 pour t E R, yz(t) = t2 pour t 2 0, y2(t) = -tZ pour t < O; montrer
que y, et y, admettent une dérivée continue dans R et que ylya - y2y; = O, mais que yl et y,
ne sont pas linéairement dépendantes dans R.
* 10) Soit t~ X(t) une application d'une intervalle J c R dans l'espace des matrices
complexes d'ordre n. On suppose que la dérivée t t+ Xf(t) existe et est continue dans J, et
est telle que X(t)X'(t) = X'(t)X(t) pour tout t E J.
a) O n suppose en outre que, pour tout t E J, les valeurs propres de X(t) sont distinctes.
Montrer qu'il existe alors une matrice inversible constante Po tel que PoX(t)P;l = D(t), où
D(t) est une matrice diagonale, de sorte que X(tl) et X(tz) sont permutables pour tout couple
de valeurs tl, ta de t dans J. (Écrire X(t) = P(t) D(t) P(t) - l au voisinage de chaque point de
J et former l'équation différentielle satisfaite par P(t).)
b) La matrice
/ t2
t3
t4 \
est permutable à sa dérivée, mais la conclusion de a) n'est pas valable..