FVR IV.42
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
3) Étant données les deux matrices
montrer que exp(A + B) # exp(A) exp(B).
4) Si Pest un automorphisme quelconque appartenant à 9 ( E ) , montrer que exp(PAP-1) =
P.exp(A) .P-l pour tout A E 9 ( E ) .
5) Montrer par un exemple qu'une équation linéaire dxjdt = A.x + eatp(t), où A E 9 ( E )
est indépendant de t et p est un polynôme (à coefficients dans E) peut avoir une intégrale
égale à un polynôme de même degré que p, même lorsque a est racine caractéristique de A.
6) Soit f (X) un polynôme de degré n à coefficients complexes, et soit
la décomposition de la fraction rationnelle I l f (X) en éléments simples (A, VII, 8 2, no 2).
Montrer que, pour toute fonction réglée b, la fonction
est une intégrale de l'équation f (D) x = b(t).
7) a) Soit t H A(t) une application d'un intervalle J c R dans 9 ( E ) , telle que, pour tout
x E E, l'application t - A(t) . x de J dans E soit continue. Montrer que, dans tout intervalle
compact K c J, t e l/A(t)l] est borde (utiliser TG, IX, p. 56, th. 2). Dans ces conditions,
montrer que, pour tout point (to, x,) E J x E, l'équation dxldt = A(t) . x + b(t) admet une
solution et une seule, définie dans J, et égale à xo au point to. En outre, si on désigne par
u(t, t,, x,) cette solution, l'application x, ++ u(t, to, xo) est une application linéaire bijective
et bicontinue C(t, to) de E sur lui-même, qui satisfait aux relations (6) (IV, p. 18) et (7)
(IV, p. 19) ; de plus, l'application (s, t) ++ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue.
b) On prend pour E l'espace des suites x = (x,),,~ de nombres réels, telles que lim x, = 0,
n-t m
muni de la norme jlxll = snp Ixnl, pour laquelle E est complet. Pour tout t E J = (0, l), soit
A(t) l'application linéaire de E dans lui-même telle que
Montrer que A(t) satisfait aux conditions de a), mais que l'application t~ A(t) de J dans
9 ( E ) n'est pas continue au point t = O, et que la résolvante C(t, to) de l'équation dxldt =
A(t) . x est telle que l'application t H C(t, to) de J dans 9 ( E ) ne soit pas dérivable au point
t = 0.
7 8) Soit G une algèbre normée complète sur le corps R, admettant un élément unité e.
a) Soit t H a(t) une fonction réglée dans un intervalle J c R, à valeurs dans G. Montrer
que l'intégrale u de l'équation linéaire dxldt = a(t)x qui prend la valeur e en un point
to E J est inversible dans J, et que son inverse est solution de l'équation dxldt = - xa(t) (si v
est l'intégrale de cette dernière équation qui prend la valeur e au point t,, considérer les
équations linéaires vérifiées par UV et vu). En déduire que, pour tout x, E G, l'intégrale
de dxldt = a(t)x qui prend la valeur xo au point to est égale à u(t)x,.
b) Soient a(t), b(t) deux fonctions réglées dans J, u et v les intégrales des équations dxldt =
a(t)x, dxjdt = xb(t), qui prennent la valeur e au point to. Montrer que l'intégrale de l'équation dxldt = a(t)x + xb(t) qui prend la valeur xo au point t, est égale à u(t)x,v(t).
C) Soient a(t), b(t), c(t), d(t) quatre fonctions réglées dans J, (u, v) une solution du système
de deux équations linéaires
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
3) Étant données les deux matrices
montrer que exp(A + B) # exp(A) exp(B).
4) Si Pest un automorphisme quelconque appartenant à 9 ( E ) , montrer que exp(PAP-1) =
P.exp(A) .P-l pour tout A E 9 ( E ) .
5) Montrer par un exemple qu'une équation linéaire dxjdt = A.x + eatp(t), où A E 9 ( E )
est indépendant de t et p est un polynôme (à coefficients dans E) peut avoir une intégrale
égale à un polynôme de même degré que p, même lorsque a est racine caractéristique de A.
6) Soit f (X) un polynôme de degré n à coefficients complexes, et soit
la décomposition de la fraction rationnelle I l f (X) en éléments simples (A, VII, 8 2, no 2).
Montrer que, pour toute fonction réglée b, la fonction
est une intégrale de l'équation f (D) x = b(t).
7) a) Soit t H A(t) une application d'un intervalle J c R dans 9 ( E ) , telle que, pour tout
x E E, l'application t - A(t) . x de J dans E soit continue. Montrer que, dans tout intervalle
compact K c J, t e l/A(t)l] est borde (utiliser TG, IX, p. 56, th. 2). Dans ces conditions,
montrer que, pour tout point (to, x,) E J x E, l'équation dxldt = A(t) . x + b(t) admet une
solution et une seule, définie dans J, et égale à xo au point to. En outre, si on désigne par
u(t, t,, x,) cette solution, l'application x, ++ u(t, to, xo) est une application linéaire bijective
et bicontinue C(t, to) de E sur lui-même, qui satisfait aux relations (6) (IV, p. 18) et (7)
(IV, p. 19) ; de plus, l'application (s, t) ++ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue.
b) On prend pour E l'espace des suites x = (x,),,~ de nombres réels, telles que lim x, = 0,
n-t m
muni de la norme jlxll = snp Ixnl, pour laquelle E est complet. Pour tout t E J = (0, l), soit
A(t) l'application linéaire de E dans lui-même telle que
Montrer que A(t) satisfait aux conditions de a), mais que l'application t~ A(t) de J dans
9 ( E ) n'est pas continue au point t = O, et que la résolvante C(t, to) de l'équation dxldt =
A(t) . x est telle que l'application t H C(t, to) de J dans 9 ( E ) ne soit pas dérivable au point
t = 0.
7 8) Soit G une algèbre normée complète sur le corps R, admettant un élément unité e.
a) Soit t H a(t) une fonction réglée dans un intervalle J c R, à valeurs dans G. Montrer
que l'intégrale u de l'équation linéaire dxldt = a(t)x qui prend la valeur e en un point
to E J est inversible dans J, et que son inverse est solution de l'équation dxldt = - xa(t) (si v
est l'intégrale de cette dernière équation qui prend la valeur e au point t,, considérer les
équations linéaires vérifiées par UV et vu). En déduire que, pour tout x, E G, l'intégrale
de dxldt = a(t)x qui prend la valeur xo au point to est égale à u(t)x,.
b) Soient a(t), b(t) deux fonctions réglées dans J, u et v les intégrales des équations dxldt =
a(t)x, dxjdt = xb(t), qui prennent la valeur e au point to. Montrer que l'intégrale de l'équation dxldt = a(t)x + xb(t) qui prend la valeur xo au point t, est égale à u(t)x,v(t).
C) Soient a(t), b(t), c(t), d(t) quatre fonctions réglées dans J, (u, v) une solution du système
de deux équations linéaires