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EXERCICES
FVR IV.41
suite ( u n ) converge uniformément vers in dans tout intervalle compact contenu dans 1 (utiliser
le fait que la suite (un) est équicontinue dans 1).
17) Pour étudier l'équation x' = sin tx ( I V , p. 12, Exemple 4). o n pose u = xy, et o n considère les solutions d e l'équation correspondante u' = 2 + t sin u = F(tJ u) qui sont > O
t
pour t > O (pour toute solution de cette nature, o n a u(0) = O). On désigne par rk la courbe
définie par les relations (2k - 1) x < u < 2kx, t sin u + 2 = O pour chaque entier k 1,
t
U
par D, l'ouvert défini par (2k - l ) x < u < 2kxJ t sin u + - < 0, par E le complét
mentaire dans l'ensemble des (t, u) tels que t > O et u > O, d e la réunion des Bk.
a) Montrer que toute courbe intégrale qui coupe une droite u = 2kx coupe aussi la droite
u = (2k + 1)x.
b) Si u n e courbe intégrale C coupe une courbe rk e n un point (to, u,), la fonction u est
croissante pour O < t < to, décroissante pour t > to, et lorsque t tend vers + a , u(t) tend
vers (2k - l ) x , la courbe C restant dans Dk pour t > to.
c ) Montrer qu'il n'y a aucune courbe intégrale C contenue dans E et telle que u(t) tende
vers + co lorsque t tend vers + co. (Former l'équation différentielle dxldu = G(u, x ) entre x
et u le long d e C. Si C est tout entière dans E, o n a x2 > u pour u = (2k - + ) x ; majorer
d'autre part x2(u) e n utilisant l'équation différentielle précédente, et obtenir une contradiction.)
d ) Montrer que pour chaque entier k, il existe une courbe intégrale et une seule C contenue
dans E et telle que u(t) tende vers 2kx lorsque t tend vers + W . ( E n posant v = 2kx - u, o n a
v - 2kx
v - 2kx
une équation v'= - + t sin u ; comparer cette équation à v' = --t
t
+ tu,
t tendant vers + co et v vers O.)
18) Soit E l'espace des suites x = (x,),,~ d e nombres réels telles que lim x, = 0, muni de la
n-m
norme ]/XI/ = sup lx,[, qui e n fait u n espace normé complet. Pour tout x = (x,) E E, soit
n
' . la fonction f est continue dans
y = f ( x ) l'élément (y,) d e E défini par y, = Ixnj'/z + - n + 1'
E. Montrer qu'il n'existe aucune solution de l'équation différentielle x ' = f ( x ) définie dans
un voisinage d e O dans R, à valeurs dans E et égale à O pour t = O (cf. I V , p. 39, exerc. 11).
§ 2
1 ) Soient E u n espace normé complet sur R, F un espace topologique, J u n intervalle de R
n o n réduit à un point; soit (t, E) ++ A(t, E) u n e application d e J x F dans S?(E), telle q u e
lorsque E tend vers Eo, A(t, 5) tende uniformément vers A(t, 4,) dans J. Si C(t, to, E) est la
résolvante de l'équation linéaire dxldt = A(t, 5) .x, montrer que, pour tout intervalle compact K c J , C(t, to, 5) tend uniformément vers C(t, to, Eo) dans K x K , lorsque tend vers
Eo.
2 ) Soit t H A ( t ) une application réglée d e J dans 9 ( E ) telle que, pour deux points quelconques s, t d e J, A(s) et A ( t ) soient permutables. O n pose B ( t ) = jfo A(s) ds. Montrer q u e la
résolvante C(t, to) d e l'équation dxldt = A ( t ) . x est égale à e x p ( B ( t ) ) .
Si t H Ai(t), t H Az(t) sont deux applications réglées d e J dans 2 ( E ) telles que, pour
d e u x points quelconques s, t d e J , A,(s), A l ( t ) , A,(s), A z ( t ) soient deux à deux permutables,
montrer que l'on a
EXERCICES
FVR IV.41
suite ( u n ) converge uniformément vers in dans tout intervalle compact contenu dans 1 (utiliser
le fait que la suite (un) est équicontinue dans 1).
17) Pour étudier l'équation x' = sin tx ( I V , p. 12, Exemple 4). o n pose u = xy, et o n considère les solutions d e l'équation correspondante u' = 2 + t sin u = F(tJ u) qui sont > O
t
pour t > O (pour toute solution de cette nature, o n a u(0) = O). On désigne par rk la courbe
définie par les relations (2k - 1) x < u < 2kx, t sin u + 2 = O pour chaque entier k 1,
t
U
par D, l'ouvert défini par (2k - l ) x < u < 2kxJ t sin u + - < 0, par E le complét
mentaire dans l'ensemble des (t, u) tels que t > O et u > O, d e la réunion des Bk.
a) Montrer que toute courbe intégrale qui coupe une droite u = 2kx coupe aussi la droite
u = (2k + 1)x.
b) Si u n e courbe intégrale C coupe une courbe rk e n un point (to, u,), la fonction u est
croissante pour O < t < to, décroissante pour t > to, et lorsque t tend vers + a , u(t) tend
vers (2k - l ) x , la courbe C restant dans Dk pour t > to.
c ) Montrer qu'il n'y a aucune courbe intégrale C contenue dans E et telle que u(t) tende
vers + co lorsque t tend vers + co. (Former l'équation différentielle dxldu = G(u, x ) entre x
et u le long d e C. Si C est tout entière dans E, o n a x2 > u pour u = (2k - + ) x ; majorer
d'autre part x2(u) e n utilisant l'équation différentielle précédente, et obtenir une contradiction.)
d ) Montrer que pour chaque entier k, il existe une courbe intégrale et une seule C contenue
dans E et telle que u(t) tende vers 2kx lorsque t tend vers + W . ( E n posant v = 2kx - u, o n a
v - 2kx
v - 2kx
une équation v'= - + t sin u ; comparer cette équation à v' = --t
t
+ tu,
t tendant vers + co et v vers O.)
18) Soit E l'espace des suites x = (x,),,~ d e nombres réels telles que lim x, = 0, muni de la
n-m
norme ]/XI/ = sup lx,[, qui e n fait u n espace normé complet. Pour tout x = (x,) E E, soit
n
' . la fonction f est continue dans
y = f ( x ) l'élément (y,) d e E défini par y, = Ixnj'/z + - n + 1'
E. Montrer qu'il n'existe aucune solution de l'équation différentielle x ' = f ( x ) définie dans
un voisinage d e O dans R, à valeurs dans E et égale à O pour t = O (cf. I V , p. 39, exerc. 11).
§ 2
1 ) Soient E u n espace normé complet sur R, F un espace topologique, J u n intervalle de R
n o n réduit à un point; soit (t, E) ++ A(t, E) u n e application d e J x F dans S?(E), telle q u e
lorsque E tend vers Eo, A(t, 5) tende uniformément vers A(t, 4,) dans J. Si C(t, to, E) est la
résolvante de l'équation linéaire dxldt = A(t, 5) .x, montrer que, pour tout intervalle compact K c J , C(t, to, 5) tend uniformément vers C(t, to, Eo) dans K x K , lorsque tend vers
Eo.
2 ) Soit t H A ( t ) une application réglée d e J dans 9 ( E ) telle que, pour deux points quelconques s, t d e J, A(s) et A ( t ) soient permutables. O n pose B ( t ) = jfo A(s) ds. Montrer q u e la
résolvante C(t, to) d e l'équation dxldt = A ( t ) . x est égale à e x p ( B ( t ) ) .
Si t H Ai(t), t H Az(t) sont deux applications réglées d e J dans 2 ( E ) telles que, pour
d e u x points quelconques s, t d e J , A,(s), A l ( t ) , A,(s), A z ( t ) soient deux à deux permutables,
montrer que l'on a