FVR IV.40
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
b) Montrer que, si h > $, on a J = (O, a(, avec
(poser x = y d l + t2, et utiliser lyexerc. Il).
7 13) a) Soit 1 = (t,, to f c), et soit w une fonction numérique continue et > O définie dans
1 x R. Soit S une boule de centre x, dans un espace normé complet E, et soit f une application continue de 1 x S dans E telle quc, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait
llf(t, x,) - f (t, x , ) jl < w(t, lix, - ~ ~ 1 1 ) .
Soient u et v deux intégrales de x' = f (t, X) définies
dans 1, à valeurs dans S, tdles que u(to) = x,, v(to) = x2; soit w l'intégrale maximale
exerc. 10) de z' = w(t, z) corrcspondant au point (t,, jjx, - x21/), et supposée définie dans
1; montrer que, dans 1, on a jju(t) - v(t) l i < ~ ( t ) .
(Soit w(t, E) l'intégrale maximale de
z' = w(t, z) + E correspondant au point (t,, llx, - x21/), où E > O est assez petit. Montrer
que Ilu(t) - v(t) 11 < rei (t, E) pour tout E > O, en raisonnant par l'absurde.)
b) Dans l'énoncé des hypothèses de a), on rcmplace 1 par l'intervalle 1' = )t, - c, t,).
Montrcr que, si w est, dans cet intervalle, l'intégrale minimale de z' = w(t, z) correspondant
au point (to, Ijx, - x2jl), on a, dans 1', Ilu(t) - v(t) 1 1 2 w(t) (même mbthode).
7 14) a) Soit w(t, z) une fonction numérique continue et > O définie pour O < t < a et
z > O. O n suppose que z = O soit la seule intégrale de z' = w(t, z) définie pour O < t < a
et telle que lim z(t) = O et lim z(t)/t = O. Soient I = (t,, to + a(, S une boule de centre x,
t - O
t+o
dans E, f une application continue de 1 x S dans E telle que, quels que soient t E 1, x, E S
et x2 E S, on ait Ijf (t, x,) - f (t, x2) I I < w(lt - toi, jlx, - x2 11). Montrer que, dans un
intervalle d'origine t, contenu dans 1, l'équation x' = f (t, x) ne peut avoir qu'une seule
solution u telle que u(to) = x,. (Raisonner par l'absurde: si v est une seconde intégrale de
x' = f (t, x), minorcr llu(t) - v(t) j/ dans un intervalle d'origine t,, à l'aide dc l'exerc. 13 b),
et obtenir ainsi une contradiction.)
Appliquer au cas où o(t, z) = k(z/t) avec O < k < 1 (cf. IV, p. 38, exerc. 8).
b) Le résultat de a) s'applique pour w(t, z) = zlt; mais montrer dans ce cas par un exemple
que si u, v sont deux intégrales approchées à c près de x' = f (t, x), égales à x, au point t,,
il n'est pas possible de majorer Ilia(t) - v(t) /j par un nombre ne dépendant que de t (et non
de la fonction f ) . (Prendre pour f une application continuc de W + x R dans R, égale à
x/t pour t > cr et pour O < t < u et 1x1 < t2/(u - t), et indépendante de x pour lcs autres
points (t, x).)
c ) Soit 0 une fonction numérique continue et > O dans l'intervalle (O, a). Montrer que si
1 + e(t)
dt cst convergente, lc résultat de a) s'applique pour w(t, z) = --- z;
t
dt est infinie, donner un exemple de fonction continucf, telle que l'on
l + (It - 'o') ljx, - x2/l, mais telle que l'équation r ' = f(t, x)
ait /If (4 XI) - f (t7 x2) I l $
It -
ait une infinité d'intégrales égalcs à x, au point t, (méthode analogue à celle de b)).
15) Soit f une fonction numérique définie et continue pour lt/ < a, 1x1 < b, telle que f (t, x )
< O pour tx > O et f (t, x) > O pour tx < O; montrer que x = O est la seule intésrale de
l'équation x' = f (t, x) qui prenne la valeur O au point t = O (raisonner par l'absurde).
16) Soient E un espace vectoriel de dimcnsionjnie, f une fonction bornée dans 1 x H et
satisfaisant aux conditions de IV, p. 3, lemme 1, telle que l'équation x' = f(t, x) admette
une seule solution u définie dans 1, à valeurs dans H, égale à x, au point t,. On suppose en
outre que, pour tout entier n assez grand, il existe une intégrale approchée u, de x' =
f (t, x) à l/n près, définie dans 1, à valeurs dans H, et égale à xo au point t,. Montrer que la
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
b) Montrer que, si h > $, on a J = (O, a(, avec
(poser x = y d l + t2, et utiliser lyexerc. Il).
7 13) a) Soit 1 = (t,, to f c), et soit w une fonction numérique continue et > O définie dans
1 x R. Soit S une boule de centre x, dans un espace normé complet E, et soit f une application continue de 1 x S dans E telle quc, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait
llf(t, x,) - f (t, x , ) jl < w(t, lix, - ~ ~ 1 1 ) .
Soient u et v deux intégrales de x' = f (t, X) définies
dans 1, à valeurs dans S, tdles que u(to) = x,, v(to) = x2; soit w l'intégrale maximale
exerc. 10) de z' = w(t, z) corrcspondant au point (t,, jjx, - x21/), et supposée définie dans
1; montrer que, dans 1, on a jju(t) - v(t) l i < ~ ( t ) .
(Soit w(t, E) l'intégrale maximale de
z' = w(t, z) + E correspondant au point (t,, llx, - x21/), où E > O est assez petit. Montrer
que Ilu(t) - v(t) 11 < rei (t, E) pour tout E > O, en raisonnant par l'absurde.)
b) Dans l'énoncé des hypothèses de a), on rcmplace 1 par l'intervalle 1' = )t, - c, t,).
Montrcr que, si w est, dans cet intervalle, l'intégrale minimale de z' = w(t, z) correspondant
au point (to, Ijx, - x2jl), on a, dans 1', Ilu(t) - v(t) 1 1 2 w(t) (même mbthode).
7 14) a) Soit w(t, z) une fonction numérique continue et > O définie pour O < t < a et
z > O. O n suppose que z = O soit la seule intégrale de z' = w(t, z) définie pour O < t < a
et telle que lim z(t) = O et lim z(t)/t = O. Soient I = (t,, to + a(, S une boule de centre x,
t - O
t+o
dans E, f une application continue de 1 x S dans E telle que, quels que soient t E 1, x, E S
et x2 E S, on ait Ijf (t, x,) - f (t, x2) I I < w(lt - toi, jlx, - x2 11). Montrer que, dans un
intervalle d'origine t, contenu dans 1, l'équation x' = f (t, x) ne peut avoir qu'une seule
solution u telle que u(to) = x,. (Raisonner par l'absurde: si v est une seconde intégrale de
x' = f (t, x), minorcr llu(t) - v(t) j/ dans un intervalle d'origine t,, à l'aide dc l'exerc. 13 b),
et obtenir ainsi une contradiction.)
Appliquer au cas où o(t, z) = k(z/t) avec O < k < 1 (cf. IV, p. 38, exerc. 8).
b) Le résultat de a) s'applique pour w(t, z) = zlt; mais montrer dans ce cas par un exemple
que si u, v sont deux intégrales approchées à c près de x' = f (t, x), égales à x, au point t,,
il n'est pas possible de majorer Ilia(t) - v(t) /j par un nombre ne dépendant que de t (et non
de la fonction f ) . (Prendre pour f une application continuc de W + x R dans R, égale à
x/t pour t > cr et pour O < t < u et 1x1 < t2/(u - t), et indépendante de x pour lcs autres
points (t, x).)
c ) Soit 0 une fonction numérique continue et > O dans l'intervalle (O, a). Montrer que si
1 + e(t)
dt cst convergente, lc résultat de a) s'applique pour w(t, z) = --- z;
t
dt est infinie, donner un exemple de fonction continucf, telle que l'on
l + (It - 'o') ljx, - x2/l, mais telle que l'équation r ' = f(t, x)
ait /If (4 XI) - f (t7 x2) I l $
It -
ait une infinité d'intégrales égalcs à x, au point t, (méthode analogue à celle de b)).
15) Soit f une fonction numérique définie et continue pour lt/ < a, 1x1 < b, telle que f (t, x )
< O pour tx > O et f (t, x) > O pour tx < O; montrer que x = O est la seule intésrale de
l'équation x' = f (t, x) qui prenne la valeur O au point t = O (raisonner par l'absurde).
16) Soient E un espace vectoriel de dimcnsionjnie, f une fonction bornée dans 1 x H et
satisfaisant aux conditions de IV, p. 3, lemme 1, telle que l'équation x' = f(t, x) admette
une seule solution u définie dans 1, à valeurs dans H, égale à x, au point t,. On suppose en
outre que, pour tout entier n assez grand, il existe une intégrale approchée u, de x' =
f (t, x) à l/n près, définie dans 1, à valeurs dans H, et égale à xo au point t,. Montrer que la