EXERCICES
FVR IV.39
intégrale v de x' = f (t, x) définie dans J, et telle que v(to) = xo, est aussi intégrale d'une
équation x' = g(t, x), où g est lipschitzienne et arbitrairement voisine de f dans G (considérer I'équation
b) On suppose en outre que E soit de dimension $nie. Montrer que si f E G, satisfait aux
conditions du lemme 1, pour tout t E J,, l'ensemble H(t) des valeurs au point t des intégrales
de x' = f (t, x) qui prennent la valeur xo au point t,, est un epsemble compact et connexe
(pour voir que H(t) est fermé, utiliser le th. d'Ascoli; pour voir qu'il est connexe, utiliser a) :
si xl, x2 sont deux points de H(t), et c > O un nombre arbitraire, montrer qu'il existe un
ensemble connexe
le filtre des voisinages de O dans R,).
10) Soit f une fonction numérique continue et bornée définie dans le pavé P: ]t - t,l < a ,
1% - xol < b de R2. Soit M la borne supérieure de 1 f (t, x)l dans P, et 1 = )to - a, t, + c c ( ,
où a = inf (a, b/M). Montrer que l'enveloppe supérieure et l'enveloppe inférieure de
l'ensemble @ des intégrales de x' = f (t, x) définies dans 1 et prenant la valeur xo au point t,,
sont encore des intégrales de x' = f (t, x), qu'on appelle respectivement intégrale maximale et
intégrale minimale de cette équation, correspondant au point (to, xo) (remarquer que l'ensemble 4> est équicontinu et fermé pour la topologie de la convergence uniforme dans 1).
Pour tout T E 1, soit E la valeur de l'intégrale minimale (correspondant à (t,, x,)) au
point 7. Montrer que l'intégrale minimale correspondant au point (T, 5) est identique à
l'intégrale minimale correspondant au point (to, xo) dans un intervalle de la forme (2, -r + h(
si r > to, de la forme) T - h, T) si T < to.
En déduire qu'il existe un plus grand intervalle ouvert )t,, t2( contenant t, et contenu
dans )t, - a, to + a(, tel que l'intégrale minimale u correspondant au point (t,, x,) puisse
être prolongée par continuité à )tl, ta( de sorte qu'en tout point t de )tl, t,(, u (t) appartienne à
)xo - b, xo + b( et que u soit identique à l'intégrale minimale correspondant au point (t, u(t))
dans un intervalle de la forme (t, t + h( si t > to, de la forme) t - h, t) si t < t,; montrer
en outre qu'on a, soit t1 = to - a (resp. t2 = to + a) soit lim u(t) = xo $. b (resp. lim u(t) =
t - t l
t - t z
11) a) Dans le pavé P: It - toi < a, 1% - xol < b, soient g et h deux fonctions numtriques
continues telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit u (resp. v) une intégrale de x' = g(t, ,Y)
(resp. x' = h(t, x)) telle que u(to) = xo (resp. v(to) = xo) définie dans un intervalle (t,, to + c(;
montrer que, pour to < t < to + c, on a u(t) < v(t) (considérer la borne supérieure -r des t
pour lesquels cette inégalité a lieu).
b) Soit ul'intégrale maximale de x' = g(t, x) correspondant au point (t,, x,) (exerc. IO), définie
dans un intervalle (to, t, + c(, à valeurs dans lx - xol < b. Montrer que, dans tout intervalle
compact (t,, to + d ) contenu dans (t,, to + c(, l'intégrale minimale et l'intégrale maximale
de l'équation x' = g(t, x) + E correspondant au point (t,, x,) sont définies dès que E > O
est assez petit, et convergent uniformément vers u lorsque E tend vers O par valeurs > 0.
c) Soient g et h deux fonctions numériques définies et continues dans P et telles que
g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit (t,, t, f c( un intervalle dans lequel sont définies une intégrale
u de x' = g(t, x) telle que u(to) = x,, et l'intégrale maximale v de x' = h(t, x) correspondant
au point (to, x,). Montrer que, dans cet intervalle, on a u(t) < v(t) (se ramener au cas a) à
l'aide de b)).
x2
12) Soit u l'intégrale de l'équation x' = A + - 1 + ta
3 égale à O pour t = O, et soit J le plus
grand intervalle d'origine O dans lequel u est continue.
a) Montrer que, si h 6 a, on aJ = (0, + CO( (utiliser l'exerc. 4 de IV, p. 37).
FVR IV.39
intégrale v de x' = f (t, x) définie dans J, et telle que v(to) = xo, est aussi intégrale d'une
équation x' = g(t, x), où g est lipschitzienne et arbitrairement voisine de f dans G (considérer I'équation
b) On suppose en outre que E soit de dimension $nie. Montrer que si f E G, satisfait aux
conditions du lemme 1, pour tout t E J,, l'ensemble H(t) des valeurs au point t des intégrales
de x' = f (t, x) qui prennent la valeur xo au point t,, est un epsemble compact et connexe
(pour voir que H(t) est fermé, utiliser le th. d'Ascoli; pour voir qu'il est connexe, utiliser a) :
si xl, x2 sont deux points de H(t), et c > O un nombre arbitraire, montrer qu'il existe un
ensemble connexe
le filtre des voisinages de O dans R,).
10) Soit f une fonction numérique continue et bornée définie dans le pavé P: ]t - t,l < a ,
1% - xol < b de R2. Soit M la borne supérieure de 1 f (t, x)l dans P, et 1 = )to - a, t, + c c ( ,
où a = inf (a, b/M). Montrer que l'enveloppe supérieure et l'enveloppe inférieure de
l'ensemble @ des intégrales de x' = f (t, x) définies dans 1 et prenant la valeur xo au point t,,
sont encore des intégrales de x' = f (t, x), qu'on appelle respectivement intégrale maximale et
intégrale minimale de cette équation, correspondant au point (to, xo) (remarquer que l'ensemble 4> est équicontinu et fermé pour la topologie de la convergence uniforme dans 1).
Pour tout T E 1, soit E la valeur de l'intégrale minimale (correspondant à (t,, x,)) au
point 7. Montrer que l'intégrale minimale correspondant au point (T, 5) est identique à
l'intégrale minimale correspondant au point (to, xo) dans un intervalle de la forme (2, -r + h(
si r > to, de la forme) T - h, T) si T < to.
En déduire qu'il existe un plus grand intervalle ouvert )t,, t2( contenant t, et contenu
dans )t, - a, to + a(, tel que l'intégrale minimale u correspondant au point (t,, x,) puisse
être prolongée par continuité à )tl, ta( de sorte qu'en tout point t de )tl, t,(, u (t) appartienne à
)xo - b, xo + b( et que u soit identique à l'intégrale minimale correspondant au point (t, u(t))
dans un intervalle de la forme (t, t + h( si t > to, de la forme) t - h, t) si t < t,; montrer
en outre qu'on a, soit t1 = to - a (resp. t2 = to + a) soit lim u(t) = xo $. b (resp. lim u(t) =
t - t l
t - t z
11) a) Dans le pavé P: It - toi < a, 1% - xol < b, soient g et h deux fonctions numtriques
continues telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit u (resp. v) une intégrale de x' = g(t, ,Y)
(resp. x' = h(t, x)) telle que u(to) = xo (resp. v(to) = xo) définie dans un intervalle (t,, to + c(;
montrer que, pour to < t < to + c, on a u(t) < v(t) (considérer la borne supérieure -r des t
pour lesquels cette inégalité a lieu).
b) Soit ul'intégrale maximale de x' = g(t, x) correspondant au point (t,, x,) (exerc. IO), définie
dans un intervalle (to, t, + c(, à valeurs dans lx - xol < b. Montrer que, dans tout intervalle
compact (t,, to + d ) contenu dans (t,, to + c(, l'intégrale minimale et l'intégrale maximale
de l'équation x' = g(t, x) + E correspondant au point (t,, x,) sont définies dès que E > O
est assez petit, et convergent uniformément vers u lorsque E tend vers O par valeurs > 0.
c) Soient g et h deux fonctions numériques définies et continues dans P et telles que
g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit (t,, t, f c( un intervalle dans lequel sont définies une intégrale
u de x' = g(t, x) telle que u(to) = x,, et l'intégrale maximale v de x' = h(t, x) correspondant
au point (to, x,). Montrer que, dans cet intervalle, on a u(t) < v(t) (se ramener au cas a) à
l'aide de b)).
x2
12) Soit u l'intégrale de l'équation x' = A + - 1 + ta
3 égale à O pour t = O, et soit J le plus
grand intervalle d'origine O dans lequel u est continue.
a) Montrer que, si h 6 a, on aJ = (0, + CO( (utiliser l'exerc. 4 de IV, p. 37).