FVR IV.38
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 1
par les e, d'indice k distinct de n et de n + 1. Soit fn une fonction continue et lipschitzienne
dans E, à valeurs dans E, constante sur toute classe modulo Wn, égale à en+^ - en sur la
droite joignant en et entl, et égale à O dans l'intersection de Vn et de la boule ljxl] < 4.
D'autre part, pour tout entier n > O, soit cpn une fonction numérique définie et continue
1
dans I'intervalle [zi], égale à O aux extrémités de cet intervalle, et telle que
j ~ ~ ~ , ,
cpn(t) dt = 1. Soit 1 l'intervalle (0, 1) dans R; on considère dans 1 x E la fonction f,
1
1
à valeurs dans E, définie comme suit: f (O, x) = O quel que soit x E E; pour - < t < -9
n + l
n
f (t, x) = cpn(t)fn(x). Montrer que f est continue et localement lipschitzienne dans 1 x E,
mais qu'il existe une intégrale u de l'équation x' = f (t, x), définie et bornée dans )O, 11,
égale à en pour t = lln, et par suite ne tendant vers aucune limite lorsque t tend vers O.
a 6) a) Soit 1 = (0, f CO(; si f est lipschitzienne dans 1 x E pour une fonction réglée
k(t) > O telle que l'intégrale Sirn k(t) dt soit convergente, montrer que toute intégrale de
l'équation x' = f (t, x) est définie dans 1 tout entier.
b) Si en outre l'intégrale j,f "O Ijf (t, x,) 1 1 dt est convergente (pour un certain point x, E E),
montrer que toute intégrale de x' = f (t, x) tend vers une limite finie lorsque t tend vers + co
(montrer d'abord que toute intégrale est bornée lorsque t tend vers + a ) .
7) On considère le système d'équations différentielles scalaires
où les ciil< sont des constantes telles que ckji = -cijk. Montrer que les intégrales de ce sysn
tème sont définies pour toutes les valeurs de t (remarquer que 2 x,2 est constante pour toute
< = 1
intégrale x = ( x i ) ) .
8) Soit f une fonction définie dans 1 x H, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV,
p. 3, et telle que, pour une constante k telle que O < k < 1, et pour un point t, E 1, on ait,
quels que soient t E 1 et xl, x2 dans H
Montrer que, si u et v sont deux solutions approchées de l'équation x' = f (t, x) à cl et E,
près respectivement, définies dans 1, à valeurs dans H et prenant la même valeur au point
t,, on a, pour tout t E 1
En déduire que les th. 1 (IV, p. IO), 2 (IV, p. 11) sont encore valables pour l'équation
x' = f (t, x) dans les conditions indiquées.
r/ 9) Soient 1 un intervalle dans R, to un point de 1, S une boule de rayon r et de centre x,
dans E, G l'espace normé des applications bornées de 1 x S dans E, la norme d'une telle
application f étant la borne supérieure I/f /j de lIf (t, x) 1 1 dans 1 x S. Pour tout M > 0,
soit GM la boule llf lj < M dans G. Soit L la partie de G formée des applications lipschitziennes
de 1 x S dans E; pour toute fonction f E L n G,, soit u = U(f) l'intégrale de x' = f (t, x),
telle que u(to) = x,, à valeurs dans S et définie dans l'intersection J, de 1 et de l'intervalle
r
)to - r , to + -( (th. 1).
M
LM
a) Soit (f,) une suite de fonctions appartenant à L n 6,; si fn converge uniformément dans
1 x S vers une fonction f, toute valeur d'adhérence (pour la topologie de la convergence
compacte) de la suite des un = U(fn) dans l'espace F des applications bornées de J, dans E,
est une intégrale de x' = f(t, x) prenant la valeur xo au point to. Réciproquement, toute
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 1
par les e, d'indice k distinct de n et de n + 1. Soit fn une fonction continue et lipschitzienne
dans E, à valeurs dans E, constante sur toute classe modulo Wn, égale à en+^ - en sur la
droite joignant en et entl, et égale à O dans l'intersection de Vn et de la boule ljxl] < 4.
D'autre part, pour tout entier n > O, soit cpn une fonction numérique définie et continue
1
dans I'intervalle [zi], égale à O aux extrémités de cet intervalle, et telle que
j ~ ~ ~ , ,
cpn(t) dt = 1. Soit 1 l'intervalle (0, 1) dans R; on considère dans 1 x E la fonction f,
1
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à valeurs dans E, définie comme suit: f (O, x) = O quel que soit x E E; pour - < t < -9
n + l
n
f (t, x) = cpn(t)fn(x). Montrer que f est continue et localement lipschitzienne dans 1 x E,
mais qu'il existe une intégrale u de l'équation x' = f (t, x), définie et bornée dans )O, 11,
égale à en pour t = lln, et par suite ne tendant vers aucune limite lorsque t tend vers O.
a 6) a) Soit 1 = (0, f CO(; si f est lipschitzienne dans 1 x E pour une fonction réglée
k(t) > O telle que l'intégrale Sirn k(t) dt soit convergente, montrer que toute intégrale de
l'équation x' = f (t, x) est définie dans 1 tout entier.
b) Si en outre l'intégrale j,f "O Ijf (t, x,) 1 1 dt est convergente (pour un certain point x, E E),
montrer que toute intégrale de x' = f (t, x) tend vers une limite finie lorsque t tend vers + co
(montrer d'abord que toute intégrale est bornée lorsque t tend vers + a ) .
7) On considère le système d'équations différentielles scalaires
où les ciil< sont des constantes telles que ckji = -cijk. Montrer que les intégrales de ce sysn
tème sont définies pour toutes les valeurs de t (remarquer que 2 x,2 est constante pour toute
< = 1
intégrale x = ( x i ) ) .
8) Soit f une fonction définie dans 1 x H, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV,
p. 3, et telle que, pour une constante k telle que O < k < 1, et pour un point t, E 1, on ait,
quels que soient t E 1 et xl, x2 dans H
Montrer que, si u et v sont deux solutions approchées de l'équation x' = f (t, x) à cl et E,
près respectivement, définies dans 1, à valeurs dans H et prenant la même valeur au point
t,, on a, pour tout t E 1
En déduire que les th. 1 (IV, p. IO), 2 (IV, p. 11) sont encore valables pour l'équation
x' = f (t, x) dans les conditions indiquées.
r/ 9) Soient 1 un intervalle dans R, to un point de 1, S une boule de rayon r et de centre x,
dans E, G l'espace normé des applications bornées de 1 x S dans E, la norme d'une telle
application f étant la borne supérieure I/f /j de lIf (t, x) 1 1 dans 1 x S. Pour tout M > 0,
soit GM la boule llf lj < M dans G. Soit L la partie de G formée des applications lipschitziennes
de 1 x S dans E; pour toute fonction f E L n G,, soit u = U(f) l'intégrale de x' = f (t, x),
telle que u(to) = x,, à valeurs dans S et définie dans l'intersection J, de 1 et de l'intervalle
r
)to - r , to + -( (th. 1).
M
LM
a) Soit (f,) une suite de fonctions appartenant à L n 6,; si fn converge uniformément dans
1 x S vers une fonction f, toute valeur d'adhérence (pour la topologie de la convergence
compacte) de la suite des un = U(fn) dans l'espace F des applications bornées de J, dans E,
est une intégrale de x' = f(t, x) prenant la valeur xo au point to. Réciproquement, toute