1) a) Avcc les notations de IV, p. 4, on suppose que f est uniformément continue dans
J x S. Démontrer alors la prop. 3 de IV, p. 5, sans faire usage de l'axiome de choix. (Soit 8
tel que les relations It2 - tll < 6, jlxz - xlj/ < 6 entraînent ljf (t,, x,) - f (t,, x,) I I < E;
considérer une subdivision de J en intervalles de longueur < inf(S, 6/M) et définir par récurrence la solution approchée.)
6) Lorsque E est de dimension finie, et que f est lipschitzienne dans 1 x H, démontrer la
prop. 3 de IV, p. 5, sans fairc usage de l'axiomc dc choix. (Remarquer que, pour tout S > 0,
il existe un nombre fini de points xi de S tels que tout point de S soit à une distance < S d'un
des xi; procéder ensuite comme dans a) en considérant les fonctions réglées t H f (t, x,), en
nombre fini.)
2) Étant donnés deux nombres b > O, M > O et un nombre arbitraire E > O, donner un
exemple d'une équation différentielle scalaire x' = g(x) telle que Ig(x) 1 < M pour 1x1 < b
et qui admet une intégrale x = u(t) continue dans l'intervalle ) - b/M - E, b/M + E(, mais
b
qui n'a pas de limite finie au point x = - + E (définir g de sorte que l'intégrale considérée
M
b
b
ait une dérivéc continue dans ) - - - E, - + E(, cette dérivée étant égale à la constante
M
M
M dans (- b/M, b/M)).
3) Soient S c H une boule ouverte de centre xo et de rayon r, f une fonction lipschitzienne
pour la constante k > O dans I x S ; on suppose en outre que t ++ f (t, xo) est bornée dans 1
et on désigne par Mo la borne supérieure de /If (t, xo) Ij pour t E 1. Montrcr que pour tout
t, E 1, il existe une intégrale u de x' = f (t, x), à valeurs dans S, égale à xo au point t,, et
définie dans l'intersection de 1 et de l'intervalle )to - A, to f ?, ( , où
(remarquer que l'on a Ilu(t) - xo 1 1 < M(t - to) + k jlai(s) - x0 1 1 ds pour t > t,).
1:
7 4) Soient 1 = )to - a, to + a( un intervalle ouvert dans R, S une boule ouverte de centre
xo et de rayon r dans E, f une fonction localement lipschitzienne dans 1 x S. Soit
(s, z) H h(s, z ) une fonction 2 O définie et continue pour O < s < a et O < z < r, telle que,
pour tout s E (O, a) l'application z i-t h(s, z ) soit croissante; on suppose que dans 1 x S, on ait
Ijf (t, x) 11 < h(l t - toi, llrv - xo 11). Soit
h(s,
f (t, x), égale à xo au point to, est définie dans )to - a, to + cc(, et que, dans cet intervalle, on a
Ilu(t) - xoll < dit - toi).
b) Déduire de a) que, si f est définie dans 1 x E, et s'il existe une fonction h définie, continue
croissante et > O dans (O, + CO(, telle que JO+ dz/h(z) = + CO et que Ilf (t, x) 1 1 < h(llxl/),
toute intégrale de x' = f (t, x) est définie dans 1 tout entier.
7 5) Soit E l'espace normé complet formé des suites x = (x,) de nombres réels telles que
lim x, = 0, normé par llxjl = sup lxn/. Pour tout entier n > O, soit en la suite dont tous les
. , a rn
&-&es sont nuls, à l'exception du'terme d'indice n, égal à 1 ; l'espace E est somme directe d u
sous-espace V, de dimension 2 engendré par en et e,,,, et sous-espace fermé W, engendré