FVR IV.36
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
§ 2
appartiennent à l'anneau C[D] des polynômes en D, à coefficients dans C. Soient
J.(D) (1 6 j 6 r < Min(m, n)) les invariants de similitude non nuls de la matricc
P(D) ; on sait (A, VII, $ 5, no 1) que ce sont des polynômes unitaires bien déterminés, tels que f. divise A.+, pour 1 6 j 6 r - 1 (r étant le rang de P(D)); en
outre, il existe deux matrices carrées U(D) et V(D), d'ordres respectifs m et n,
inuersibles (dans les anneaux de matrices carrées d'ordre m et n respectivement, à
coefcients dans l'anneau C[D] des polynômes en D à coefcients complexes), et telles que
la matrice Q(D) = (qjlc(D)) = U(D) P(D) V(D) ait tous ses termes nuls, à
l'exception des termes diagonaux qj3(D) = f.(D) pour 1 < j 6 r. Posons alors
y = V-l(D)x; l'équation (49) est équivalente à l'équation
puisque U(D) est inversible. Or, si y = (y,, y,, . . .,y,), et si
U(D)Wt) = (c,(t), a , cm(t)),
l'équation (50) s'écrit
Le système n'admet donc de solutions indéhiment dérivables que si les conditions (52) sont vérifiées; la détermination des yj d'indice j < r se ramène alors à
l'intégration de r équations diff6rentiellcs linéaires à coefficients constants (51) ;
les y, d'indice > r sont des fonctions indéfiniment dérivables arbitraires. Une fois
les solutions y de l'équation (50) ainsi déterminées, on en déduit les solutions de
(47) par la formule x = V(D)y.
Remarques. - 1) Certains des polynômesf,(D) pcuvcnt se rkduire à des constantes
non nulles; les y, correspondants sont alors entièrement déterminés.
2) Lorsque les 6, sont tous nuls, c'est-à-dire que le système (47) est homogène,
les conditions (52) sont toujours vérifiées; si en outrc r = n, on voit que l'ensemble
des solutions dc (47) est un espace vectoriel sur C , de dimension égale à la somme des
degrés desf,(D), c'est-à-dire au degré dc dct(P (D)).
3) Les polynômes fijk(D) étant donnés, un système (47) qui admet des solutions
lorsque les seconds membres sont indéfiniment dérivables (ou dérivables jusqu'àun ccrtain ordre) peut ne pas en admettre lorsque les seconds membres sont des fonctions
réglées quelconques: c'est ce que montre I'excmple (48), qui n'admet pas de solution
lorsque a ( t ) n'est pas une primitivc. Nous n'entreprendrons pas ici de rechercher les
conditions supplémentaires de possibilité qui s'introduisent ainsi lorsque les seconds
membres sont des fonctions réglées quelconques.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
§ 2
appartiennent à l'anneau C[D] des polynômes en D, à coefficients dans C. Soient
J.(D) (1 6 j 6 r < Min(m, n)) les invariants de similitude non nuls de la matricc
P(D) ; on sait (A, VII, $ 5, no 1) que ce sont des polynômes unitaires bien déterminés, tels que f. divise A.+, pour 1 6 j 6 r - 1 (r étant le rang de P(D)); en
outre, il existe deux matrices carrées U(D) et V(D), d'ordres respectifs m et n,
inuersibles (dans les anneaux de matrices carrées d'ordre m et n respectivement, à
coefcients dans l'anneau C[D] des polynômes en D à coefcients complexes), et telles que
la matrice Q(D) = (qjlc(D)) = U(D) P(D) V(D) ait tous ses termes nuls, à
l'exception des termes diagonaux qj3(D) = f.(D) pour 1 < j 6 r. Posons alors
y = V-l(D)x; l'équation (49) est équivalente à l'équation
puisque U(D) est inversible. Or, si y = (y,, y,, . . .,y,), et si
U(D)Wt) = (c,(t), a , cm(t)),
l'équation (50) s'écrit
Le système n'admet donc de solutions indéhiment dérivables que si les conditions (52) sont vérifiées; la détermination des yj d'indice j < r se ramène alors à
l'intégration de r équations diff6rentiellcs linéaires à coefficients constants (51) ;
les y, d'indice > r sont des fonctions indéfiniment dérivables arbitraires. Une fois
les solutions y de l'équation (50) ainsi déterminées, on en déduit les solutions de
(47) par la formule x = V(D)y.
Remarques. - 1) Certains des polynômesf,(D) pcuvcnt se rkduire à des constantes
non nulles; les y, correspondants sont alors entièrement déterminés.
2) Lorsque les 6, sont tous nuls, c'est-à-dire que le système (47) est homogène,
les conditions (52) sont toujours vérifiées; si en outrc r = n, on voit que l'ensemble
des solutions dc (47) est un espace vectoriel sur C , de dimension égale à la somme des
degrés desf,(D), c'est-à-dire au degré dc dct(P (D)).
3) Les polynômes fijk(D) étant donnés, un système (47) qui admet des solutions
lorsque les seconds membres sont indéfiniment dérivables (ou dérivables jusqu'àun ccrtain ordre) peut ne pas en admettre lorsque les seconds membres sont des fonctions
réglées quelconques: c'est ce que montre I'excmple (48), qui n'admet pas de solution
lorsque a ( t ) n'est pas une primitivc. Nous n'entreprendrons pas ici de rechercher les
conditions supplémentaires de possibilité qui s'introduisent ainsi lorsque les seconds
membres sont des fonctions réglées quelconques.