No 9
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
FVR IV.35
m
Soit m le degré du polynôme P(t) = C hktm-k; si f (a) # O (c'est-à-dire si a
k = O
m
n'est pas racine caractéristique), il existe un polynôme et un seul u(t) = z cktm-k
k = O
de degré m, solution de l'équation (46), car les coefficients c, sont déterminés par le
système d'équations linéaires
qui admet évidemment une solution et une seule. Si au contraire a est une racine
caractéristique, et si h est son ordre de multiplicité, le calcul précédent montre
qu'il existe un polynôme et un seul v(t) de degré m, tel que toute solution de
Dhy = v(t) soit une intégrale; autrement dit, tout polynôme solution de (46) est
alors de degré m + h (<( résonance ))).
9. Systemes d'équations linéaires à coefficients constants
Avec les notations du no 8, considérons plus généralement un système de m
équations différentielles de la forme
où les inconnues x, (1 6 k 6 n) et les seconds membres bi (1 6 j 6 m) sont des
fonctions complexes de la variable réelle t, et où les pik(D) sont des polynômes
(de degré quelconque) à coefficients constants (complexes) par rapport à l'opérateur
de dérivation D (1 < j 6 m, 1 6 k 6 n).
De tels systèmes ne sont pas du même type que ceux considCrés dans IV, p. 2,
(formule (5)), comme le montre l'exemple suivant:
Nous nous bornerons au cas où les bj(t) sont les fonctions ind@niment dérivables
dans un intervalle J, et nous chercherons seulement les solutions (x,), , , <, , indéfiniment dérivables dans J. En posant b(t) = (b,(t), . . ., bm(t)) (application de
J dans Cm), et x = (x,, x,, . . ., xn), le système (47) peut s'écrire
où P(D) est la matrice (p,,(D)) à m lignes et n colonnes, dont les coefficients