FVR IV.34
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
5 2
En effet, en vertu de l'identité de Bezout (A, VII, tj 1, no 2, th. l), il existe
deux polynômes p(D) et q(D) tels que p(D)g(D) + q(D)h(D) = 1. Pour toute
solution x de (42), on peut donc écrire x = y + z, où y = p(D)g(D)x et
z = q(D)h(D)x, et on a h(D)y =p(D)(f (D)x) = O, et g(D)z = q(D)(f (D)x) = O.
D'autre part, si on a à la fois g(D)x = O et h(D)x = O, on en tire
ce qui achève la démonstration.
Avec les notations précédentes, on peut alors écrire
4
= n (D - ,)nj
3 = 1
et la prop. 10, appliquée par récurrence sur q, montre que le sous-espace des
solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des q équations
(43)
(D - r j ) ? x = O
(1 < j < q).
Or, pour tout nombre complexe r, on a
et par suite l'équation (43) équivaut à
et a donc pour solutions les fonctions erjt p,(t), où pj parcourt l'ensemble des polynômes de degré < nj - 1 ; on retrouve ainsi la prop. 9 de IV, p. 33.
L'équation homogène (41) étant supposée résolue (c'est-à-dire que les
racines caractéristiques sont supposées déterminées), on sait que la méthode de
variation des constantes permet de trouver les solutions de l'équation non
homogène
(45)
DnX - alDn-l x - . . . - a,-,Dx - anx = b(t)
où b(t) est une fonction réglée quelconque (IV, p. 21) ; on notera que si b(t) est
ind$niment dérivable dans un intervalle J, toutes les intégrales de (45) sont indéfiniment dérivables dans J. Dans le cas particulier b(t) = eatp(t), où p est un
polynôme (à coefficients complexes) et ci un nombre complexe quelconque, on
obtient plus simplement une intégrale de (45) de la façon suivante. Posons
x = ewt y; l'équation
f (D)x = eatp(t)
s'écrit d'après (44)
f (ci + D)Y = P(t)
ou encore, en vertu de la formule de Taylor appliquée au polynôme f (D),
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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En effet, en vertu de l'identité de Bezout (A, VII, tj 1, no 2, th. l), il existe
deux polynômes p(D) et q(D) tels que p(D)g(D) + q(D)h(D) = 1. Pour toute
solution x de (42), on peut donc écrire x = y + z, où y = p(D)g(D)x et
z = q(D)h(D)x, et on a h(D)y =p(D)(f (D)x) = O, et g(D)z = q(D)(f (D)x) = O.
D'autre part, si on a à la fois g(D)x = O et h(D)x = O, on en tire
ce qui achève la démonstration.
Avec les notations précédentes, on peut alors écrire
4
= n (D - ,)nj
3 = 1
et la prop. 10, appliquée par récurrence sur q, montre que le sous-espace des
solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des q équations
(43)
(D - r j ) ? x = O
(1 < j < q).
Or, pour tout nombre complexe r, on a
et par suite l'équation (43) équivaut à
et a donc pour solutions les fonctions erjt p,(t), où pj parcourt l'ensemble des polynômes de degré < nj - 1 ; on retrouve ainsi la prop. 9 de IV, p. 33.
L'équation homogène (41) étant supposée résolue (c'est-à-dire que les
racines caractéristiques sont supposées déterminées), on sait que la méthode de
variation des constantes permet de trouver les solutions de l'équation non
homogène
(45)
DnX - alDn-l x - . . . - a,-,Dx - anx = b(t)
où b(t) est une fonction réglée quelconque (IV, p. 21) ; on notera que si b(t) est
ind$niment dérivable dans un intervalle J, toutes les intégrales de (45) sont indéfiniment dérivables dans J. Dans le cas particulier b(t) = eatp(t), où p est un
polynôme (à coefficients complexes) et ci un nombre complexe quelconque, on
obtient plus simplement une intégrale de (45) de la façon suivante. Posons
x = ewt y; l'équation
f (D)x = eatp(t)
s'écrit d'après (44)
f (ci + D)Y = P(t)
ou encore, en vertu de la formule de Taylor appliquée au polynôme f (D),