No 8
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES
FVR IV.33
8. Equations linhaires d'ordre n à coefficients constants
Si, dans l'équation (33), les coefficients ai sont constants, la matrice correspondante A est constante; l'équation caractéristique correspondante s'obtient en
écrivant que ert est solution, ce qui donne
Soicnt rj (1 6 j 6 q) les racines distinctes de cette équation, lzj (1 6 j < q)
4
l'ordre de multiplicité de la racine î; ( 2 ni = n). D'après les résultats de IV,
j = 1
p. 26 à 32, à chaque racine ri correspond, pour l'équation homogène
un système de ni intégrales linéairement indépendantes
oùp,, est un polynôme (à coefficients complexes) de dcgré 6 ni - 1 (1 ,< k 6 n,) ;
en outre, les n intégrales uik (1 6 j 6 q, 1 6 k 6 n,) ainsi obtenues sont linéairement
ind&endantes. 11 en résulte quc les n, polynômesp,, (1 6 k 6 nj) sont linéairement
indépendants dans l'espace des polynômes en t de degré 6 ni -- 1, donc forment une base (sur B*) de cet espace, puisque cc dernier est de dimension ni.
h t r e m e n t dit :
PROPOSITION 9. -Soient r, (1 6 j 6 q) les racines distinctes de l'équation caractéristique (40), et soit ni l'ordre de multiplicité de la racine ri (1 < j 6 q). Les nfonctions
t"erlt (1 6 k 6 ni, 1 ,< j < q) sont des inLégrales linéairement indépendantes de l'iquation
homogène (41).
On peut ddmontrer ce résultat dircctcment de la façon suivante. Il résulte
dc l'équation (41) quc la dérivée n-ème dc toute intégrale de cette équation est
dérivable dans R, d'où on déduit aussitôt, par récurrence sur l'entier nz > ~z, que
toute intégrale de (41) admet une dérivée d'ordre m, autrcmcnt dit, est indgniment dérivable dans IR. Soit 9 l'espacc vectoriel sur (C: (non topologique) des fonctions complexes indéfinimcnt dérivables dans %a; l'application x t+ Dx est un
endomorphisme de cet espace, et l'équation (41) peut s'écrire
où f(D) = DR - a,Dn-l - . . . - a,-,D - a, (A, IV, $ 2, no 1).
PROP~SITIQN 10. - Soient g et h deux polynômes premiers enlre eux tels que f = gh. Le
sous-espace des solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des deux
équations
g(D)x=O,
h(D)x=O.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES
FVR IV.33
8. Equations linhaires d'ordre n à coefficients constants
Si, dans l'équation (33), les coefficients ai sont constants, la matrice correspondante A est constante; l'équation caractéristique correspondante s'obtient en
écrivant que ert est solution, ce qui donne
Soicnt rj (1 6 j 6 q) les racines distinctes de cette équation, lzj (1 6 j < q)
4
l'ordre de multiplicité de la racine î; ( 2 ni = n). D'après les résultats de IV,
j = 1
p. 26 à 32, à chaque racine ri correspond, pour l'équation homogène
un système de ni intégrales linéairement indépendantes
oùp,, est un polynôme (à coefficients complexes) de dcgré 6 ni - 1 (1 ,< k 6 n,) ;
en outre, les n intégrales uik (1 6 j 6 q, 1 6 k 6 n,) ainsi obtenues sont linéairement
ind&endantes. 11 en résulte quc les n, polynômesp,, (1 6 k 6 nj) sont linéairement
indépendants dans l'espace des polynômes en t de degré 6 ni -- 1, donc forment une base (sur B*) de cet espace, puisque cc dernier est de dimension ni.
h t r e m e n t dit :
PROPOSITION 9. -Soient r, (1 6 j 6 q) les racines distinctes de l'équation caractéristique (40), et soit ni l'ordre de multiplicité de la racine ri (1 < j 6 q). Les nfonctions
t"erlt (1 6 k 6 ni, 1 ,< j < q) sont des inLégrales linéairement indépendantes de l'iquation
homogène (41).
On peut ddmontrer ce résultat dircctcment de la façon suivante. Il résulte
dc l'équation (41) quc la dérivée n-ème dc toute intégrale de cette équation est
dérivable dans R, d'où on déduit aussitôt, par récurrence sur l'entier nz > ~z, que
toute intégrale de (41) admet une dérivée d'ordre m, autrcmcnt dit, est indgniment dérivable dans IR. Soit 9 l'espacc vectoriel sur (C: (non topologique) des fonctions complexes indéfinimcnt dérivables dans %a; l'application x t+ Dx est un
endomorphisme de cet espace, et l'équation (41) peut s'écrire
où f(D) = DR - a,Dn-l - . . . - a,-,D - a, (A, IV, $ 2, no 1).
PROP~SITIQN 10. - Soient g et h deux polynômes premiers enlre eux tels que f = gh. Le
sous-espace des solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des deux
équations
g(D)x=O,
h(D)x=O.