FVR IV.32
ÉQUATIONS DIFF~RENTIELLES
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Étant données n intégrales quelconques u j (1 < j 6 n) de l'équation (37), on
appelle wromkien de ce système d'intégrales le déterminant (par rapport à la base
canonique de Cn) du système des n intégrales correspondantes u j dc l'équation
dxldt = A(t) .x, c'est-à-dire la fonction
Pour que les n intégrales uj soient linéairement indépendantes, il faut et il
suffit que W(t) # O dans J; d'ailleurs, il suffit pour cela que W(t,) # O en un
point t, de J (IV, p. 22, prop. 4) ; en outre, on a (IV, p. 23, prop. 5)
Identifions la résolvante C(i, t,) de l'équation (35) à sa matrice par rapport
à la base canonique de 6"; les colonnes vj(t, t,) (1 < j < n) de cette matrice
sont alors n intégrales linéairement indépendantes
de l'équation homogène dxldt = A(t) .x, qui correspondent aux n intégrales
linéairement indépendantes uj(t, t,) de l'équation (37), telles que
Dk--'uj(to, t,) = 8jk
(indice dc Kronecker) pour 1 6 j < n, 1 6 k 6 n (en convenant de poser
DOui = uj). Il en résulte en particuIier que la méthode de variation des constantes (IV, p. 21) appliquée à l'équation (35) donne ici comme intégrale
particulière de (33), égale à O ainsi que ses n - 1 premières dérivées au point to,
la fonction
Dans le cas particulier de l'équation Dnx = b(t), la formule (39) redonne la
formule exprimant la primitive n-ème de la fonction réglée b(l) qui s'annule ainsi
que ses n - 1 premières dérivées au point t,
( t - s)"-l
w(t) = Io b(s) ds
( n - l ) !
(II, p. 13, formule (19)): l'intégrale de Dnx = O qui est nulle ainsi que ses n - 2
premières dérivées au point t,, et dont la dérivée (n - 1)-ème est égale à 1 en ce
point, est en effet le polynôme (t - to)n-l/(n - 1) !.