FVR IV.3 1
c'est-à-dire à l'équation linéaire
où on a posé x = (x,, x2, . . . , x,) E Cn, b(t) = (0, 0, . . . , 0, b(t)), et où la inatrice
A(t) est définie par
L'étude de l'équation linéaire d'ordre n consistc donc à appliquer à l'équation
linéaire particulière (35) les résultats généraux qui précèdent. Pour tout intervalle J où les fonctions ai (1 < j < n) et b sont réglées, il existe une fonction et une
seule u, définie dans J, admettant dans cet intervalle une dérivée (n - 1)-ème
continue et une dérivée n-ème réglée (sauf aux points d'un ensemble dénombrable), satisfaisant à l'équation (33) dans le complémentaire d'une partie
dénombrable de J, et telle que
où to est un point quelconque de J, x,, xh, . . . , xg-l), n nombres complexes
arbitraires.
Pour que p intégrales ui (1 < j < p) de l'équation homogène
(3 7)
Dnx - al(t)Dn-lx - . - an-l(t)Dx - an(t)x = O
associée à (33), soient linéairement indépendantes (dans l'espace % '
(
J
,
C) des
applications continues de J dans C, considéré comme espace vectoriel sur C), il
faut et il suffit que lesp intégrales correspondantes u j = (uj, Duj, . . . , Dn-luj) de
l'équation homogène dxldt = A(t) .x soient linéairement indépendantes (dans
l'espace %' (J; Cn) des applications continues de J dans Cn). Il est évident en effet
que la condition est nécessaire. Inversement, s'il existe n constantes complexes
hi non toutes nulles telles qu'on ait identiquement 3 hiui(t) = O dans J, on en
i = 1
déduit 5 hiDkuj(t) = O dans J pour tout entier k tel que 1 < k 4 n - 1, ce
j = l
qui signifie que l'on a 2 bui(" = O dans J.
i = l
Par suite (IV, p. 19, cor. 1) :
PROPOSITION 8. - L' ensemble des intégrales de l'équation linéaire homogène (37), d@nies
dans J, est un espace vectori?'el de dimension n sur le corps C.