No 6
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
FVR IV.29
Comme d'autre part eXteYt est égal à I pour t = O, on a eXteYt = e(x+Y)t, d'où
la formule (26). De cette dernière, on déduit en particulier que, pour s et t réels
quelconques, on a
(29)
t) = eXseXt
et aussi que
(30)
On notera par contre que la formule (26) n'est plus exacte lorsqu'on ne suppose
pas X et Y permutables: elle entraînerait en effet que exp X et exp Y sont toujours
permutables, ce qui n'est pas le cas, comme le montrent des exemples simples (IV,
p. 41, exerc. 3).
Supposons maintenant que E soit un espace vectoriel de dimensionjnie sur le
corps C, et A un endomorphisme de E (pour la structure d'espace vectoriel sur
C) qu'on peut identifier à sa matrice par rapport à une base de E; pour tout
t E R, eAt est alors un automorphisme de E pour cette même structure (IV, p. 20,
prop. 2). Soient rk (1 < k < q) les racines distinctes (dans C) du polyndme
caractéristique cp(r) = det (A - rI) de l'endomorphisme A (((racines carac4
téristiques u de A) ; si nk est l'ordre de multiplicité de rk, on a 2 n, = n. On sait
k = l
(A, VIX, 4 5, no 3) qu'à chaque racine rk correspond un sous-espace E, de E, de
dimension n,, tel que E, soit stable par A, et que E soit somme directe des E,: E, peut
être défini comme le sous-espace des vecteurs x tels que
Soit a un vecteur quelconque de E; on peut &rire a = 5 a,, où a, E E,;
k = l
l'intégrale de l'équation (19) de IV, p. 26, prenant la valeur a au point t = O est
donc donnée par
Mais comme a, E E,, on a
Toute intégrale de l'équation (19) de IV, p. 26, peut donc s'écrire
où pk(t) est un polynôme par rapport à t, à coefficients dans l'espace vectoriel
E,, et de degré 6 nk - 1. En particulier, si toutes les racines de l'équation