FVR IV.28
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
3 O Quel que soit X E 9 ( E ) , on a
la série du second membre étant absolument et uniformément convergente dans toute partie
bornée de 9 ( E ) ; en particulier, eit = etI pour t E HP.
4 O Si X et Y sont permutables, Y et eY sont tous deux permutables avec ex, et on a
La relation (24) résulte de l'expression (23) de C(t, O) et du fait que cette
fonction est intégrale de (20) ; de (24) on déduit par récurrence sur n que t t-t ext
est indéfiniment dérivable dans R et que l'on a
Dn(ext) = Xn ext.
D'après la formule de Taylor, on peut donc écrire
(2 7)
X
X"
xn
e X = I + - + - +...+r + Xn+l
' (1 - t)"
j, n!
ext dt.
l !
2!
n.
D'autre part, le cor. 3 de IV, p. 19, montre que lleXt 1 1 < exp ( IIXll. It 1). Donc
1 (1 - t)"
le reste rn(X) = X n + l Io ---i- ext dt de la formule (27) satisfait à l'inégalité
n.
d'où on déduit la formule (25), la série du second membre étant absolument et
uniformément convergente dans toute partie bornée de L?(E). Pour tout couple
d'éléments X, T de .Y(E), on a donc
Or, on peut écrire (X + T)" - Xn = V,V,. . . Vn, la somme étant
(VI)
étendue aux 2n - 1 suites (VJ d'éléments de 9 ( E ) telles que & = Xou V, = T
pour 1 < i < n, un au moins des Vi étant égal à T; on en conclut aussitôt
l'inégalité
Il(X+ Tln - Xnll < (IlXII + IITll)n - llXllnt
d'où
(28)
I l e x p ( X + T ) - e x P X I I ~ e x P ( I l x l l + I I T l l ) - e X P I I X I l
ce qui établit la continuité de l'application X ++ exp X.
Enfin, si X et Y sont permutables, Y est permutable avec ext (IV, p. 20, prop.
2), donc on a