No 6
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
FVR IV.27
D'après le th. 1 (IV, p. 17), toute intégrale de (19) est définie dans R tout
entier; d'après le th. 2 (IV, p. 18), l'intégrale de (19) prenant la valeur x, en un
point t, E R peut s'écrire C(t, t,)x,, où C(t, t,) est une application linéaire
bijective et bicontinue de E sur lui-même, satisfaisant à l'équation
et telle que C(t,, t,) = I. On a en outre ici l'identité
(21)
C(t + 7, tO + 7) = C(t, tO)
quel que soit z E : en effet, on a dC(s, t, + z)/ds = AC(s, t, + 7 ) d'après (20),
et, comme A est constant, il en résulte qu'on a aussi
d'autre part
d'où l'identité (21), puisque l'intégrale de (20) égale à I au point t, est unique.
Si on pose C,(t) = C(t, O), on a donc C(t, t,) = C,(t - t,); d'autre part,
pour tout h E ]ta, C',(At) est identique à l'intégrale de l'équation
qui prend la valeur I au point O. Nous poserons la définition suivante:
DÉFINITION 1. - Étant donné un endomorphisme continu A de E, on désigne par eA ou
exp A l'automor~hisme de E égal à la valeur au point t = 1 de l'intégrale de I'équation
(20) qui prend la valeur I au point t = 0.
Avec cette notation, les remarques qui précèdent la déf. 1 montrent que
(23)
C(t, t,) = exp (A(t - t,)).
La notation exponentielle ainsi introduite et justifiée par les propriétés
suivantes, qui sont tout à fait analogues à celles de la fonction exp z, pour z réel
ou complexe (cf. III, p. 8 et 16):
PROPOSITION 7. - l 0 L'application X t+ ex est une application continue de 9 ( E ) dans
le groupe des automorphismes de E (éléments inversibles de Y(E)).
2 O L'application t t+ ext de W dans 9 ( E ) est dérivable et on a