FVR IV.26
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 2
l'équation (4) de IV, p. 22, il faut et il sufit que v soit solution de l'équation linéaire
homogène
oh - B(t) est la transposée de A(t).
L'équation (16) est dite adjointe de (4); il est clair qu'inversement (4) est
adjointe de (16). Les éléments de la matrice B(t) étant fonctions réglées de t dans
J, les résultats obtenus ci-dessus sur les équations linéaires sont applicables à
l'équation (16). En particulier, l'intégrale de (16) prenant la valeur x: au point to
peut s'écrire H(t, to) .xg, où H(t, to) est une application linéaire bijective de
E* sur lui-même, identique à l'intégrale de l'équation
qui prend la valeur I au point t,. Il en résulte qu'on a (avec les notations de IV,
P. 18)
M t , to) Xo, H(t> to) 4) = (xo, x 3
quels que soient x0 E E et xg E E*, ce qui montre que
(18)
H(t, to) = C(t, to)
(contragrédiente de C(tJ t,)). En particulier, si on connaît un système fondamental
d'intégrales de l'équation adjointe (16)) la matrice H(t, to) est déterminée, donc
aussi C(t, t,), et par suite toutes les intégrales de l'équation (4).
Remarque. -Soient E et F deux espaces normés complets sur R (ou sur C ) ,
(x, y) H (x, y> une forme bilinéaire continue dans E x F, telle que la relation <( (x, y> = O
pour tout y E F >) (resp. <( (x, y) = O pour tout x E E $) entraîne x = O (resp. y = 0).
Supposons en outre que, pour tout t E J, il existe une application linéaire continue
B(t) de F dans lui-même, telle que l'on ait (A(t). x, y> + (x, B(t). y> = O pour tout
(x, y) E E x F. Dans ces conditions, on voit comme ci-dessus que, pour qu'une
application t~ v(t) de J dans F, primitive d'une fonction réglée, soit telle que
(u(t), v(t)> soit constante pour toute intégrale u de (4), il faut et il suffit que v soit
intégrale de l'équation (16), qu'on appelle encore l'adjointe de (4).
6. Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Nous supposons de nouveau que E est un espace normé complet quelconque sur R;
soit A un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et considérons l'équation
linéaire homogène
Lorsque E est de dimension Jnie, l'équation (19) est équivalente à un système
homogène (3) (IV, p. 22) d'équations différentielles scalaires, où les coefficients ai,
sont des constantes.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 2
l'équation (4) de IV, p. 22, il faut et il sufit que v soit solution de l'équation linéaire
homogène
oh - B(t) est la transposée de A(t).
L'équation (16) est dite adjointe de (4); il est clair qu'inversement (4) est
adjointe de (16). Les éléments de la matrice B(t) étant fonctions réglées de t dans
J, les résultats obtenus ci-dessus sur les équations linéaires sont applicables à
l'équation (16). En particulier, l'intégrale de (16) prenant la valeur x: au point to
peut s'écrire H(t, to) .xg, où H(t, to) est une application linéaire bijective de
E* sur lui-même, identique à l'intégrale de l'équation
qui prend la valeur I au point t,. Il en résulte qu'on a (avec les notations de IV,
P. 18)
M t , to) Xo, H(t> to) 4) = (xo, x 3
quels que soient x0 E E et xg E E*, ce qui montre que
(18)
H(t, to) = C(t, to)
(contragrédiente de C(tJ t,)). En particulier, si on connaît un système fondamental
d'intégrales de l'équation adjointe (16)) la matrice H(t, to) est déterminée, donc
aussi C(t, t,), et par suite toutes les intégrales de l'équation (4).
Remarque. -Soient E et F deux espaces normés complets sur R (ou sur C ) ,
(x, y) H (x, y> une forme bilinéaire continue dans E x F, telle que la relation <( (x, y> = O
pour tout y E F >) (resp. <( (x, y) = O pour tout x E E $) entraîne x = O (resp. y = 0).
Supposons en outre que, pour tout t E J, il existe une application linéaire continue
B(t) de F dans lui-même, telle que l'on ait (A(t). x, y> + (x, B(t). y> = O pour tout
(x, y) E E x F. Dans ces conditions, on voit comme ci-dessus que, pour qu'une
application t~ v(t) de J dans F, primitive d'une fonction réglée, soit telle que
(u(t), v(t)> soit constante pour toute intégrale u de (4), il faut et il suffit que v soit
intégrale de l'équation (16), qu'on appelle encore l'adjointe de (4).
6. Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Nous supposons de nouveau que E est un espace normé complet quelconque sur R;
soit A un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et considérons l'équation
linéaire homogène
Lorsque E est de dimension Jnie, l'équation (19) est équivalente à un système
homogène (3) (IV, p. 22) d'équations différentielles scalaires, où les coefficients ai,
sont des constantes.