No. 5
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
FVR IV.25
(uj), , j , , de ce système telle que u j ( t o ) = d, pour 1 < j < n (dj arbitraires dansF)
est donnée par les formules
Considérons en particulier le cas où A ( t ) est un endomorphisme d'un espace
vectoriel E de dimension finie n sur C, tel qu'il existe une base de E par rapport à
laquelle la matrice de A ( t ) ait ses éléments réels pour tout t E J. Alors ce qui précède
montre (en vertu du th. 1 de IV, p. 17) que la matrice résolvante C(t, t,) par rapport à
la même base a aussi ses éléments réels: il suffit en effet de considérer l'espace vectoriel
E, sur W engendré par la base de E considérée, et de remarquer que la restriction de
.A(t) à Eo est un endomorphisme de cet espace vectoriel.
5. Équation adjointe
L'espace E étant toujours supposé être de dimensionjnie n sur le corps C, soit E*
son dual (A, II, p. 40), qui est un espace de dimension n sur C (A, II, p. 102,
th. 4) ; la forme bilinéaire canonique
X E E et de x* EE*).
Étant donnée une équation linéaire homogène (4) (IV, p. 22), où t H A(t) est
une application réglée de J dans 9 ( E ) , cherchons s'il existe une application
t ++ v(t) de J dans E*, primitive d'une fonction réglée dans J, et telle que la
fonction numérique t H ( ~ ( t ) ,
v(t)> soit constante dans J lorsque u est une solution quelconque de (4) ; il revient au même d'écrire que la dérivée de cette fonction doit être nulle en tout point où u et v sont dérivables, c'est-à-dire qu'on doit
$voir en ces points
Or, d'après (4)' on a (2, V(t)) =
oh - B ( t ) est la transpose' e de A(t) (A, II, p. 42). La relation à laquelle doit
satisfaire v s'écrit donc
en tous les points où A(t) est continue et v(t) dérivable. Or, pour un tel point t et
un point x, EE arbitraire, il existe d'après le th. 1 de IV, p. 17, une solution u de (4)
telle que u(t) = xo; on doit donc avoir
", di - B(t) .v(t)) = O pour tout
< dv
dv
x, E E, ce qui signifie que - - B(t) . v(t) = O. Par suite:
dt
PROPOSITION 6. - Pour qu'une application t tt v(t) de J dans E*, primitiue d'une fonction réglée dam J, soit telle que (u(t), v(t)) soit constante dans J pour toute solution u de
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
FVR IV.25
(uj), , j , , de ce système telle que u j ( t o ) = d, pour 1 < j < n (dj arbitraires dansF)
est donnée par les formules
Considérons en particulier le cas où A ( t ) est un endomorphisme d'un espace
vectoriel E de dimension finie n sur C, tel qu'il existe une base de E par rapport à
laquelle la matrice de A ( t ) ait ses éléments réels pour tout t E J. Alors ce qui précède
montre (en vertu du th. 1 de IV, p. 17) que la matrice résolvante C(t, t,) par rapport à
la même base a aussi ses éléments réels: il suffit en effet de considérer l'espace vectoriel
E, sur W engendré par la base de E considérée, et de remarquer que la restriction de
.A(t) à Eo est un endomorphisme de cet espace vectoriel.
5. Équation adjointe
L'espace E étant toujours supposé être de dimensionjnie n sur le corps C, soit E*
son dual (A, II, p. 40), qui est un espace de dimension n sur C (A, II, p. 102,
th. 4) ; la forme bilinéaire canonique
X E E et de x* EE*).
Étant donnée une équation linéaire homogène (4) (IV, p. 22), où t H A(t) est
une application réglée de J dans 9 ( E ) , cherchons s'il existe une application
t ++ v(t) de J dans E*, primitive d'une fonction réglée dans J, et telle que la
fonction numérique t H ( ~ ( t ) ,
v(t)> soit constante dans J lorsque u est une solution quelconque de (4) ; il revient au même d'écrire que la dérivée de cette fonction doit être nulle en tout point où u et v sont dérivables, c'est-à-dire qu'on doit
$voir en ces points
Or, d'après (4)' on a (2, V(t)) =
oh - B ( t ) est la transpose' e de A(t) (A, II, p. 42). La relation à laquelle doit
satisfaire v s'écrit donc
en tous les points où A(t) est continue et v(t) dérivable. Or, pour un tel point t et
un point x, EE arbitraire, il existe d'après le th. 1 de IV, p. 17, une solution u de (4)
telle que u(t) = xo; on doit donc avoir
", di - B(t) .v(t)) = O pour tout
< dv
dv
x, E E, ce qui signifie que - - B(t) . v(t) = O. Par suite:
dt
PROPOSITION 6. - Pour qu'une application t tt v(t) de J dans E*, primitiue d'une fonction réglée dam J, soit telle que (u(t), v(t)) soit constante dans J pour toute solution u de