FVR IV.24
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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indépendantes uj (1 < j < p) de l'équation (4) ramène l'intégration de cette
équation à celle d'un système linéaire homogéne de n - p équations scalaires. Supposons que, dans un intervalle K c J, il existe n - p applications
de K dans E, primitives de fonctions réglées dans Ky et telles que, pour tout t E Ky
les n vecteurs u j ( t ) (1 < j < n) forment une base de E.
Pour tout point tl E J, il existe toujours un intervalle K, voisinage de tl dans J,
dans lequel sont définies n - p fonctions up+k (1 < k < n - p) ayant les propriétés
précédentes. En effet, soit (et),,,,, une base de E; il existe n - p vecteurs de cette
base qui forment avec les u,(tl) (1 < j < p) une base de E (A, II, p. 95, th. 2);
supposons par exemple que ce soient ep+ ,, . . . , e n ; comme le déterminant
det (ul(t), . . . , up(t), ep + ,, . . . , en) (par rapport à la base (ei)) est fonction continue
de t et n'est pas nul pour t = tl, il existe un voisinage K de tl dans lequel il n'est
pas nul; on peut donc prendre u , +, (t) = ep +, (1 < k < n - fi) pour t E K.
Il existe une matrice inversible B ( t ) d'ordre n, dont les éléments sont des
primitives de fonctions réglées dans Ky telle que B ( t ) . ei = u j ( t ) pour 1 6 j < n.
dB
d y
Posons x = B ( t ) .y; y satisfait à l'équation - . y + B ( t ) .- = A ( t ) B ( t ) . y ,
dt
dt
qui s'écrit aussi
où H ( t ) = (hik(t)) est une matrice à coefficients réglés dans K. D'après la définition de B ( t ) , cette équation linéaire admet les p vecteurs constants ei ( 1 < j < p)
comme intégrales; on en conclut aussitôt qu'on a nécessairement h j k ( t ) = O
pour 1 < k < p; les composantes y, de y (par rapport à la base (e,)) d'indice
k 2 p + 1 satisfont donc à un système linéaire homogène de n - p équations;
une fois déterminées les solutions de ce système, les dy,/dt d'indice j < p sont
fonctions linéaires des y, d'indice k 2 p + 1, donc sont connues, et les primitives
de ces fonctions donneront les y, d'indice j < p.
En particulier, lorsqu'on connaît n - 1 intégrales linéairement indépendantes de
l'équation (4) de IV, p. 22, l'intégration de cette équation est ramenée à celle d'une
seule équation scalaire homogène, et par suite au calcul de n primitives.
Remarques. - 1) Tout ce qui précède s'applique encore au cas où E est de dimension
n sur le corps R et A(t) un endomorphisme de E pour tout t E J : il suffit de remplacer
partout C par R.
2) Soit A(t) = (a,,(t)) une matrice carrée d'ordre n dont les éléments sont des
fonctions réglées réelles (resp. complexes) de t dans J, et soit C(t, to) = (ct,(t, to)) la
matrice resolvante du système linéaire (3) (IV, p. 22) correspondant. Soit F un espace
normé complet quelconque sur R (resp. C) et considérons le système d'équations
différentielles linéaires
où les fonctions inconnues y,prennent leurs valeurs dans F. Il est immédiat que la solution
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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indépendantes uj (1 < j < p) de l'équation (4) ramène l'intégration de cette
équation à celle d'un système linéaire homogéne de n - p équations scalaires. Supposons que, dans un intervalle K c J, il existe n - p applications
de K dans E, primitives de fonctions réglées dans Ky et telles que, pour tout t E Ky
les n vecteurs u j ( t ) (1 < j < n) forment une base de E.
Pour tout point tl E J, il existe toujours un intervalle K, voisinage de tl dans J,
dans lequel sont définies n - p fonctions up+k (1 < k < n - p) ayant les propriétés
précédentes. En effet, soit (et),,,,, une base de E; il existe n - p vecteurs de cette
base qui forment avec les u,(tl) (1 < j < p) une base de E (A, II, p. 95, th. 2);
supposons par exemple que ce soient ep+ ,, . . . , e n ; comme le déterminant
det (ul(t), . . . , up(t), ep + ,, . . . , en) (par rapport à la base (ei)) est fonction continue
de t et n'est pas nul pour t = tl, il existe un voisinage K de tl dans lequel il n'est
pas nul; on peut donc prendre u , +, (t) = ep +, (1 < k < n - fi) pour t E K.
Il existe une matrice inversible B ( t ) d'ordre n, dont les éléments sont des
primitives de fonctions réglées dans Ky telle que B ( t ) . ei = u j ( t ) pour 1 6 j < n.
dB
d y
Posons x = B ( t ) .y; y satisfait à l'équation - . y + B ( t ) .- = A ( t ) B ( t ) . y ,
dt
dt
qui s'écrit aussi
où H ( t ) = (hik(t)) est une matrice à coefficients réglés dans K. D'après la définition de B ( t ) , cette équation linéaire admet les p vecteurs constants ei ( 1 < j < p)
comme intégrales; on en conclut aussitôt qu'on a nécessairement h j k ( t ) = O
pour 1 < k < p; les composantes y, de y (par rapport à la base (e,)) d'indice
k 2 p + 1 satisfont donc à un système linéaire homogène de n - p équations;
une fois déterminées les solutions de ce système, les dy,/dt d'indice j < p sont
fonctions linéaires des y, d'indice k 2 p + 1, donc sont connues, et les primitives
de ces fonctions donneront les y, d'indice j < p.
En particulier, lorsqu'on connaît n - 1 intégrales linéairement indépendantes de
l'équation (4) de IV, p. 22, l'intégration de cette équation est ramenée à celle d'une
seule équation scalaire homogène, et par suite au calcul de n primitives.
Remarques. - 1) Tout ce qui précède s'applique encore au cas où E est de dimension
n sur le corps R et A(t) un endomorphisme de E pour tout t E J : il suffit de remplacer
partout C par R.
2) Soit A(t) = (a,,(t)) une matrice carrée d'ordre n dont les éléments sont des
fonctions réglées réelles (resp. complexes) de t dans J, et soit C(t, to) = (ct,(t, to)) la
matrice resolvante du système linéaire (3) (IV, p. 22) correspondant. Soit F un espace
normé complet quelconque sur R (resp. C) et considérons le système d'équations
différentielles linéaires
où les fonctions inconnues y,prennent leurs valeurs dans F. Il est immédiat que la solution