No. 4
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
8 FVR IV.23
forment donc un système fondamental; si on identifie C(t, t,) à sa matrice par
rapport à la base (e,), les intégrales ui ne sont autres que les colonnes de la matrice
C(t, t,). L'intégrale de (4) prenant au point t, la valeur xo = 2 hjei est alors
1 = 1
n
Étant données n intégrales quelconques uj (1 < j < n) de ( 4 ) , on appelle
déterminant de ces n intégrales en un point t E J, par rapport à une base ( e J , ,i,n
de E, le déterminant
des n vecteurs ui(t) par rapport à la base (ej) (A, III, p. 90). On a (A, III, p. 91,
P' OP. 2)
(14)
A ( t ) = A(t,) det (C(t, t,)).
D'après la prop. 4 de IV, p. 22, pour que (aii), ,j ,. soit un système fondamental
d'intégrales de (4), il faut et il suffit que le déterminant A ( t ) des aij soit # O en un
point t, de J; la formule (14) montre alors de nouveau que A(t) # O en tout
point de J, autrement dit que les vecteurs q ( t ) ( 1 < j < n) sont toujours
linéairement indépendants.
PROPOSITION 5. - Le déterminant de la matrice C(t, t,) est donnépar la formule
det (C(t, t,)) = exp (l: T r ( A ( s ) ) ds).
En effet, si on pose 8(t) = det (C(t, t,)), on a, d'après la formule donnant la
dérivée d'un déterminant (1, p. 8, formule ( 3 ) )
c'est-à-dire, en vertu de l'équation différentielle (5) de I V , p. 18 à laquelle
satisfait C(t, t,)
Comme 6(t0) = 1, la formule ( 1 5) se déduit de l'expression (1 2) (IV, p. 22)
de l'intégrale d'une équation linéaire scalaire.
La donnée de n intégrales linéairement indépendantes de (4) détermine
toutes les intégrales de cette équation, comme nous venons de le voir. Nous allons
maintenant montrer que pour, 1 6 p 6 n, la donnée de p intégrales linéairement