F'VR IV22
ÉQUATIONS DIFF~RENTIELLES
est encore équivalente au système
Les th. 1 (IV, p. 17) et 2 (IV, p. 18) et la prop. 2 (IV, p. 20) montrent alors
que, pour tout x, = (x,,)l,,c,,
dans E, il existe une intégrale ct une seule
RE = (u,)
de l'équation
définie dans E et égale à x, au point t,; cette intégrale peut s'écrire
C(t, t,) étant une matrice carrée inversible (c,,(t, t,)) d'ordre n, dont les coefficients
sont des fonctions complexes continues dans J x J et telles que t t+ c,,(t, t,) soit
une primitive de fonction réglée dans J.
Dans le cas particulier où n = 1, le système (3) se réduit à une seule équation
scalaire
(a(t) et b ( t ) fonctions complexes réglées dans J) ; on vérifie aussitôt que la matrice
( A un élérnen~) C(t, t,) est égale à exp (JiO a($) ds) ; I'intégrale de (1 1) égale à x,
au point t, cst donc donnée explicitement par la formule
(12)
u(t) = r, exp ([y a di) + S , : b(s) exp ([: a(r) dr) di.
Dans l'espace Y(J; E) dcs applications continues de J dans E, muni de la
topologie de la convergencc compacte, l'ensemble .Y des intégrales de l'équation
(4) est un sous-espace vectoriel (sur C) isomorphe à E, donc à Cn (IV, p. 19, cor. 1,
et IV, p. 20, prop. 2). On appelle système fondamental d'intégrales de (4) une base
(q) , , de cet espace (sur le corps C) .
PROPOSITION 4. - Pour que n intégrales ui (1 6 j < n) de l'équation (4) formeni un
système fondamental, il faut et il sufit que leurs valeurs ui(t,) en un point t, E J soient des
vecteurs linéairement indépendants dans E.
En effet, l'application qui, à tout x, E E, fait correspondre l'intégrale
t tt C(t, t,,) .x,, est un isomorphisme de E sur 9 (IV, p. 19, cor. 1 et IV, p. 20,
prop. 2).
Si (ejj ! ,i,, est une base quelcorique de E sur C , les n intégrales
u,(t) = C(t, t,) .e, ( I < j < n )