No 4
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIKES
FVR IV. 21
dérivation d'une fonction bilinéaire (1, p. 5, prop. 3)
(en remplaçant dC(t, to)/dt par A(t)C(t, t,), en vertu de (5) (IV, p. 18)). L'équation en z se réduit donc à C(t, t,) . dzldt = b(t), ou encore à
d'après la seconde formule (6) de IV, p. 18. Or, le second membre de l'équation
(8) est une fonction réglée dans J, étant obtenue en substituant des fonctions
réglées à U et y dans la fonction bilinéaire continue U . y (cf. II, p. 6, cor. 2) ;
l'équation (8) a donc une intégrale et une seule prenant la valeur x, au point to,
donnée par la formule
Comme on a C(t, t,) . Jio C(t,, s) . b(s) ds = Ik C(t, to)C(to, s) . b(s) ds (II, p. 10,
formule (9)), on obtient (en tenant compte de la première formule (6) de IV,
p. 18) le résultat suivant :
PROPOSITION 3. - Avec les notations du th. 2 (IV, p. 18), pour tout point (t,, x,) de
J x E, l'intégrale de l'équation linéaire (2) défrnie dans J et égale à x, au poiazt to, est
donnée par la formule
La méthode qui conduit à la formule (10)' et qui consiste à prendre la fonction z comme nouvelle fonction inconnue, est souvent appelée <( méthode de
variation des constantes s.
4. Systèmes fondamentaux d'intégrales d'un système linéaire d'équations
différentielles scalaires
Nous allons considérer dans ce no et le suivant le cas où E est un espace vectoriel
de dimensionjnie npar rapport au corps C des nombres complexes (donc de dimension
2n par rapport à Hi), et où pour tout t E J, A ( t ) est un endomorphisme de Epour
la structure d' espace vectoriel sur @. On peut alors identifier A(t) à sa matrice (aij(t))
par rapport à une base de E (sur le corps C), les atj étant cette fois n2 fonctions
complexes définies et réglées dans J; x, (1 < j Q n) désignant les composantes
(complexes) d'un vecteur x E E par rapport à la base considérée, l'équation
linéaire