FVR IV.20
ÉQUATIONS DIFFÉREWTIELLES
5 2
En effet, on a /lA(t)x,ll < kllxoj/ pour tout t E K; dans K, la fonction constante
égale à xo est donc une intégrale approchée à kJlxoJ) près de l'équation (4) de IV,
p. 18; d'après la formule (15) de IV, p. 9, on a donc
IIC(t, to)xo - xoll < I I xoll (eklt-tol - 1)
quels que soient t et t, dans IC, et x, dans E, ce qui équivaut à l'inégalité (7)
d'après la définition de la norme dans 2 ( E ) .
PROPOSITION 2. - Soit B un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et permutable
avec A(t) pour tout t E J; alors B est permutable avec C(t, t,) quels que soient t et t, dan^ J.
En effet, on a, d'après (5)
(BC) = BAC = ABC
et
d
z
2
(CB) = ACB,
d
donc - (BC - CB) = A(BC - CB) ; mais BC(t,, t,) - C(t,, t,) B = O, donc
dt
(IV, p. 17, th. 1) BC(t, t,) - C(t, t,) B = O pour tout t E J.
Un cas particulier important de la prop. 2 est celui où E est muni d'une
structure d'espace vectoriel norrné par rapport au corps des nombres complexes @, et
où, pour tout t E J, A(t) est un endomorphisme de E pour cette structure d'espace
vectoriel; cela signifie que A(t) est permutable avec l'endomorphisme continu
x H- ix de E (pour la structure d'espace vectoriel sur R) ; donc C(t, t,) est permutable avec cet endomorphisme, ce qui signifie que, quels que soient t et to dans
J, C(t, t,) est un endomorphisme continu de la structure d'espace vectoriel
normé de E sur C.
3. Intégration de l'équation linéaire non homogène
L'intégration de l'équation linéaire non homogène
se ramène à l'intégration de l'équation homogène associée
et au calcul d'une primitive. Avec les notations du th. 2 de IV, p. 18, posons en
effet x = C(t, t,) . z, d'où on tire, d'après la seconde formule (6) de IV, p. 18,
z = C(t,, t) .x; si x est une intégrale de (2)) z est une intégrale de l'équation
d
- (C(t, t,) . z) = A(t)C(t, to) . z + b(t) ; comme l'application bilinéaire
dt
(U, Y) H U.Y
de 2 ( E ) x E dans E est continue (TG, X, p. 23, prop. 6), z admet une dérivée
(sauf en un ensemble dénombrable de points de J) et on a, par la formule de
ÉQUATIONS DIFFÉREWTIELLES
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En effet, on a /lA(t)x,ll < kllxoj/ pour tout t E K; dans K, la fonction constante
égale à xo est donc une intégrale approchée à kJlxoJ) près de l'équation (4) de IV,
p. 18; d'après la formule (15) de IV, p. 9, on a donc
IIC(t, to)xo - xoll < I I xoll (eklt-tol - 1)
quels que soient t et t, dans IC, et x, dans E, ce qui équivaut à l'inégalité (7)
d'après la définition de la norme dans 2 ( E ) .
PROPOSITION 2. - Soit B un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et permutable
avec A(t) pour tout t E J; alors B est permutable avec C(t, t,) quels que soient t et t, dan^ J.
En effet, on a, d'après (5)
(BC) = BAC = ABC
et
d
z
2
(CB) = ACB,
d
donc - (BC - CB) = A(BC - CB) ; mais BC(t,, t,) - C(t,, t,) B = O, donc
dt
(IV, p. 17, th. 1) BC(t, t,) - C(t, t,) B = O pour tout t E J.
Un cas particulier important de la prop. 2 est celui où E est muni d'une
structure d'espace vectoriel norrné par rapport au corps des nombres complexes @, et
où, pour tout t E J, A(t) est un endomorphisme de E pour cette structure d'espace
vectoriel; cela signifie que A(t) est permutable avec l'endomorphisme continu
x H- ix de E (pour la structure d'espace vectoriel sur R) ; donc C(t, t,) est permutable avec cet endomorphisme, ce qui signifie que, quels que soient t et to dans
J, C(t, t,) est un endomorphisme continu de la structure d'espace vectoriel
normé de E sur C.
3. Intégration de l'équation linéaire non homogène
L'intégration de l'équation linéaire non homogène
se ramène à l'intégration de l'équation homogène associée
et au calcul d'une primitive. Avec les notations du th. 2 de IV, p. 18, posons en
effet x = C(t, t,) . z, d'où on tire, d'après la seconde formule (6) de IV, p. 18,
z = C(t,, t) .x; si x est une intégrale de (2)) z est une intégrale de l'équation
d
- (C(t, t,) . z) = A(t)C(t, to) . z + b(t) ; comme l'application bilinéaire
dt
(U, Y) H U.Y
de 2 ( E ) x E dans E est continue (TG, X, p. 23, prop. 6), z admet une dérivée
(sauf en un ensemble dénombrable de points de J) et on a, par la formule de