No 2
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES
FVR IV. 19
p. 17; soit V(t) l'intégrale de cette équation définie dans J et égale à 1 au point t,.
On a (1, p. 14, prop. 3)
et pour t = t,, V(t) .x, = I.x, = x,; d'après le th. 1 de IV, p. 17), on a
nécessairement V(t) . x, = C(t, t,) . x, pour tout x, E E, c'est-à-dire V(t) = C(t, t,) ;
ceci démontre que C(t, t,) appartient à 9 ( E ) , autrement dit, que x, H C(t, to) .xo
est continue dans E, et que l'application t t+ C(t, t,) est l'intégrale de (5) égale à
1 au point to.
Enfin, l'intégrale s F+ C(s, u) . x, de (4) est égale à C(t, u) . x, au point t, donc
on a, par définition
C(s, u) . x, = C(s, t) . (C(t, u) . x,) = (C(s, t)C(t, u)) . x,
quel que soit x, E E, d'où la première relation (6) ; comme C(s, s) = 1 , on a
C(s, t)C(t, s) = Iquels que soient s et t dans J; ceci prouve (E, II, p, 18, corollaire)
que C(t, t,) est une application bijective de E sur lui-même, dont l'application
réciproque est C(t,, t) . Le théorème est ainsi complètement démontré.
On dit que C(t, t,) est la résolvante de l'équation (2) de IV, p. 17.
COROLLAIRE 1. -L'application qui, à tout point x, E E, fait correspondre la fonction
continue t H C(t, t,) .x,, dgnie dans J, est un isomorphisme de l'espace normé E sur
l'espace vectoriel 9 des intégrales de (4), muni de la topologie de la convergence compacte.
C'est en effet une application linéaire biljective de E sur 3; dans un ensemble
compact K c J, C(t, t,) est bornée, donc on a jlC(t, t,) .xoll < Mllxojl quels que
soient t E K et x, E E, ce qui prouve la continuité de l'application considérée;
il est évident que son application réciproque est aussi continue.
COROLLAIRE 2. - L'application (s, t) t+ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue.
En effet, on a, d'après (6), C(s, t) = C(s, t,)(C(t, t,))-l; or, l'application
(X, Y) H XY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue, et il en est de même de
l'application X t+ X - l du groupe (ouvert) des éléments inversibles de 9 ( E ) sur
lui-même (TG, IX, p. 40, prop. 14).
O n notera que l'application
t H C(tO, t ) = (C(t, t O ) )
- l
admet (dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable) une dérivée égale à
- (C(t, t o ) ) - l (dC(t, to)/dt) (C(t, t 0 ) ) - l (1, p. 16, prop. 41, c'est-à-dire (d'après I V ,
p. 18, la formule (5)) à - C(to, t ) A(t).
COROLLAIRE 3. - Soit K un intervalle compact contenu dans J, et soit k = sup IIA(t) 11.
t a K
Quels que soient t et t, dans K, on a
(7)
lIC(t, t,) - Ill < eklt-tol - 1.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES
FVR IV. 19
p. 17; soit V(t) l'intégrale de cette équation définie dans J et égale à 1 au point t,.
On a (1, p. 14, prop. 3)
et pour t = t,, V(t) .x, = I.x, = x,; d'après le th. 1 de IV, p. 17), on a
nécessairement V(t) . x, = C(t, t,) . x, pour tout x, E E, c'est-à-dire V(t) = C(t, t,) ;
ceci démontre que C(t, t,) appartient à 9 ( E ) , autrement dit, que x, H C(t, to) .xo
est continue dans E, et que l'application t t+ C(t, t,) est l'intégrale de (5) égale à
1 au point to.
Enfin, l'intégrale s F+ C(s, u) . x, de (4) est égale à C(t, u) . x, au point t, donc
on a, par définition
C(s, u) . x, = C(s, t) . (C(t, u) . x,) = (C(s, t)C(t, u)) . x,
quel que soit x, E E, d'où la première relation (6) ; comme C(s, s) = 1 , on a
C(s, t)C(t, s) = Iquels que soient s et t dans J; ceci prouve (E, II, p, 18, corollaire)
que C(t, t,) est une application bijective de E sur lui-même, dont l'application
réciproque est C(t,, t) . Le théorème est ainsi complètement démontré.
On dit que C(t, t,) est la résolvante de l'équation (2) de IV, p. 17.
COROLLAIRE 1. -L'application qui, à tout point x, E E, fait correspondre la fonction
continue t H C(t, t,) .x,, dgnie dans J, est un isomorphisme de l'espace normé E sur
l'espace vectoriel 9 des intégrales de (4), muni de la topologie de la convergence compacte.
C'est en effet une application linéaire biljective de E sur 3; dans un ensemble
compact K c J, C(t, t,) est bornée, donc on a jlC(t, t,) .xoll < Mllxojl quels que
soient t E K et x, E E, ce qui prouve la continuité de l'application considérée;
il est évident que son application réciproque est aussi continue.
COROLLAIRE 2. - L'application (s, t) t+ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue.
En effet, on a, d'après (6), C(s, t) = C(s, t,)(C(t, t,))-l; or, l'application
(X, Y) H XY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue, et il en est de même de
l'application X t+ X - l du groupe (ouvert) des éléments inversibles de 9 ( E ) sur
lui-même (TG, IX, p. 40, prop. 14).
O n notera que l'application
t H C(tO, t ) = (C(t, t O ) )
- l
admet (dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable) une dérivée égale à
- (C(t, t o ) ) - l (dC(t, to)/dt) (C(t, t 0 ) ) - l (1, p. 16, prop. 41, c'est-à-dire (d'après I V ,
p. 18, la formule (5)) à - C(to, t ) A(t).
COROLLAIRE 3. - Soit K un intervalle compact contenu dans J, et soit k = sup IIA(t) 11.
t a K
Quels que soient t et t, dans K, on a
(7)
lIC(t, t,) - Ill < eklt-tol - 1.