FVR IV. 18
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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2. Liméarité des intégrales d'une équation différentielle linéaire
La résolution d'une équation différentielle linéaire (2) est un problème linéaire
(A, II, p. 48); l'équation linéaire homogène
est dite associée à l'équation non homogène (2) ; on sait alors (A, II, p. 48, prop.
14) que si ra, est une intégrale de l'équation non homogène (2), toute intégrale de
cette équation est de la forme u + u, où u est une intégrale de l'équation homogène associée (4), et réciproquement. Nous allons d'abord étudier dans ce no
les intégrales d'une équation homogène (4).
PROPOSITION 1. -L'ensemble Y des intégrales de l'équation linéaire ho;mogène (4),
définies dans J, est un sous-espace vectoriel de l'espace g(J; E) des applications continues de
J dans E.
La démonstration est immédiate.
SHÉORÈME 2. -Pour tout point (t,, x,) de J x E, soit u(t, t,, x,) l'intégrale de
l'équation homogène (4), deJinie dans J et égale à x, au point t,.
1" Pour tout point t E J, l'ap~lication x, tt u(t, t,, x,) est une application linéaire
bijective et bicontinue C(t, t,) de E sur lui-même.
2 O L' ap@' cation t F+ C(t, t,) de J dans9(E) est identique à l'intégrale de l'équation
dzflrentielle linéaire homogène
qui prend la valeur I (application identique de E sur lui-même) au point t,.
3" Quels que soient les points s, t, u de J, on a
(6)
C(s,u) = C(s, t)C(t, u),
C(s, t) = (C(t,s))-l.
D'après la prop. 1, u(t, t,, x,) + u(t, t,, x,) (resp. hu(t, t,, x,)) est une
intégrale de (4) et prend au point t, la valeur x, + x, (resp. hx,), donc, en
vertu du th. 1 de IV, p. 17 elle est identique à n(t, t,, x, + x,) (resp.
~ ( t ,
t,, ho)) ; l'application x, tt u(t, t,, x,) est donc une application linéaire
C(t, t,) de E dans lui-même, et on peut écrire u(t, t,, x,) = C(t, t,) . x,.
Comme l'application (X, Y) H XY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue
(TG, X, p. 23, prop. 8), l'application t tt A(t ) U de J dans 9 ( E ) est réglée pour
tout U E 9 ( E ) ; on a en outre (TG, X, p. 21)
llA(t)X - 4t)YII = I l A ( W - Y) I I lIA(t) II. IIX - YIIY
donc on peut appliquer à l'équation linéaire homogène (5) le th. 1 de IV,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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2. Liméarité des intégrales d'une équation différentielle linéaire
La résolution d'une équation différentielle linéaire (2) est un problème linéaire
(A, II, p. 48); l'équation linéaire homogène
est dite associée à l'équation non homogène (2) ; on sait alors (A, II, p. 48, prop.
14) que si ra, est une intégrale de l'équation non homogène (2), toute intégrale de
cette équation est de la forme u + u, où u est une intégrale de l'équation homogène associée (4), et réciproquement. Nous allons d'abord étudier dans ce no
les intégrales d'une équation homogène (4).
PROPOSITION 1. -L'ensemble Y des intégrales de l'équation linéaire ho;mogène (4),
définies dans J, est un sous-espace vectoriel de l'espace g(J; E) des applications continues de
J dans E.
La démonstration est immédiate.
SHÉORÈME 2. -Pour tout point (t,, x,) de J x E, soit u(t, t,, x,) l'intégrale de
l'équation homogène (4), deJinie dans J et égale à x, au point t,.
1" Pour tout point t E J, l'ap~lication x, tt u(t, t,, x,) est une application linéaire
bijective et bicontinue C(t, t,) de E sur lui-même.
2 O L' ap@' cation t F+ C(t, t,) de J dans9(E) est identique à l'intégrale de l'équation
dzflrentielle linéaire homogène
qui prend la valeur I (application identique de E sur lui-même) au point t,.
3" Quels que soient les points s, t, u de J, on a
(6)
C(s,u) = C(s, t)C(t, u),
C(s, t) = (C(t,s))-l.
D'après la prop. 1, u(t, t,, x,) + u(t, t,, x,) (resp. hu(t, t,, x,)) est une
intégrale de (4) et prend au point t, la valeur x, + x, (resp. hx,), donc, en
vertu du th. 1 de IV, p. 17 elle est identique à n(t, t,, x, + x,) (resp.
~ ( t ,
t,, ho)) ; l'application x, tt u(t, t,, x,) est donc une application linéaire
C(t, t,) de E dans lui-même, et on peut écrire u(t, t,, x,) = C(t, t,) . x,.
Comme l'application (X, Y) H XY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue
(TG, X, p. 23, prop. 8), l'application t tt A(t ) U de J dans 9 ( E ) est réglée pour
tout U E 9 ( E ) ; on a en outre (TG, X, p. 21)
llA(t)X - 4t)YII = I l A ( W - Y) I I lIA(t) II. IIX - YIIY
donc on peut appliquer à l'équation linéaire homogène (5) le th. 1 de IV,