FVR IV.17
où b est une application de J dans E ; lorsque b = O, on dit que l'équation
différentielle linéaire (2) est homogène.
Exemples. - 1) Lorsque E est de dimension finie n sur R, on peut identifier l'endomorphisme A(t) à sa matrice (ati(t)) par raflort à une base (quelconque) de E (A, II,
p. 144); lorsqu'on identifie un vecteur x E E à la matrice à une colonne (xi) de ses
composantes par rapport à la base de E considérée, l'écriture A(t) .x de la valeur de
l'application linéaire homogène A(t) au point r est bien conforme aux conventions
générales d'Algèbre (A, II, p. 144, prop. 2). Dans ce cas, l'équation (2) est équivalente au système d'équations différentielles scalaires
2) Soient G une algèbre normée complète sur R, a(t), b(t) et c(t), trois applications de
J dans G; l'équation
est une équation différentielle linéaire; A(t) est ici l'application linéaire
x H a(t)x + xb(t) de G dans elle-même.
Pour tout t E J , A ( t ) est un élément de l'ensemble 9 ( E ) des applications
linéaires continues de E dans lui-même (endomorphismes continus de E ) ; on sait
(TG, X, p. 24) que 9 ( E ) , muni de la norme 1 1 Ull = sup 1 1 U.xII est une algèbre
I l ~ l l
G l
normée compléte sur le corps R et que l'on a I I U V 1 1 6 1 1 U I I . Ij Y / / .
Dans tout ce paragraphe, nous supposerons que les conditions suivantes sont satisfaites:
a) L'application t H A ( t ) de J dans 2 ( E ) est réglée.
b) L'application t H b ( t ) de J dans E est réglée.
Lorsque E est de dimension n, 9 ( E ) est isomorphe à Rna (en tant qu'espace
vectoriel topologique) et la condition a) signifie que chacun des éléments aii(t) de la
matrice A(t) est une fonction réglée dans J.
Comme on a I I A ( t l ) x - A ( t ) x 1 1 < I I A(tl) - A ( t ) 1 1 . /lxll, l'application
est riglée pour tout x E E; en outre, on a
quels que soient t E J, x, et x, dans E; en d'autres termes, le second membre de
( 2 ) satisfait aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et est lipschitzien pour la
fonction réglée ljA(t) 11 dans J x E. Par suite (IV, p. 12, cor. 2) :
THÉORÈME 1. - Soient t i-t A ( t ) une application réglée de J dans 2 ( E ) , t H b ( t ) une
application réglée de J dans E. Pour tout point (t,, xo) de J x E, l'équation linéaire (2)
admet une solution et une seule, d@nie dans J tout entier et égale à x, au point t,.
où b est une application de J dans E ; lorsque b = O, on dit que l'équation
différentielle linéaire (2) est homogène.
Exemples. - 1) Lorsque E est de dimension finie n sur R, on peut identifier l'endomorphisme A(t) à sa matrice (ati(t)) par raflort à une base (quelconque) de E (A, II,
p. 144); lorsqu'on identifie un vecteur x E E à la matrice à une colonne (xi) de ses
composantes par rapport à la base de E considérée, l'écriture A(t) .x de la valeur de
l'application linéaire homogène A(t) au point r est bien conforme aux conventions
générales d'Algèbre (A, II, p. 144, prop. 2). Dans ce cas, l'équation (2) est équivalente au système d'équations différentielles scalaires
2) Soient G une algèbre normée complète sur R, a(t), b(t) et c(t), trois applications de
J dans G; l'équation
est une équation différentielle linéaire; A(t) est ici l'application linéaire
x H a(t)x + xb(t) de G dans elle-même.
Pour tout t E J , A ( t ) est un élément de l'ensemble 9 ( E ) des applications
linéaires continues de E dans lui-même (endomorphismes continus de E ) ; on sait
(TG, X, p. 24) que 9 ( E ) , muni de la norme 1 1 Ull = sup 1 1 U.xII est une algèbre
I l ~ l l
G l
normée compléte sur le corps R et que l'on a I I U V 1 1 6 1 1 U I I . Ij Y / / .
Dans tout ce paragraphe, nous supposerons que les conditions suivantes sont satisfaites:
a) L'application t H A ( t ) de J dans 2 ( E ) est réglée.
b) L'application t H b ( t ) de J dans E est réglée.
Lorsque E est de dimension n, 9 ( E ) est isomorphe à Rna (en tant qu'espace
vectoriel topologique) et la condition a) signifie que chacun des éléments aii(t) de la
matrice A(t) est une fonction réglée dans J.
Comme on a I I A ( t l ) x - A ( t ) x 1 1 < I I A(tl) - A ( t ) 1 1 . /lxll, l'application
est riglée pour tout x E E; en outre, on a
quels que soient t E J, x, et x, dans E; en d'autres termes, le second membre de
( 2 ) satisfait aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et est lipschitzien pour la
fonction réglée ljA(t) 11 dans J x E. Par suite (IV, p. 12, cor. 2) :
THÉORÈME 1. - Soient t i-t A ( t ) une application réglée de J dans 2 ( E ) , t H b ( t ) une
application réglée de J dans E. Pour tout point (t,, xo) de J x E, l'équation linéaire (2)
admet une solution et une seule, d@nie dans J tout entier et égale à x, au point t,.