FVR IV. 16
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
d'après le th. des accroissements finis, c'est-à-dire
comme u(t, t2, x,) est identique à l'intégrale qui, au point t,, prend la valeur
u(t,, t2, x,), la prop. 5 (IV, p. 7) montre que l'on a
(22)
//"(t, tl, xo) - ~ ( t ,
t 2 , xo) I l G e2k11tz - t1l
quels que soient t, t,, t2 dans K et x, dans V. Les trois inégalités (20), (21) et (22)
démontrent donc la continuité uniforme de l'application (t, t,, x,) tt u(t, t,, x,)
dans K x K x V.
3" D'après (20), on a Ilu(t, t,, x,) - x, // < Mlt - t,l G 2MZ dans
Si Z a été pris assez petit pour que 2M1 < r/4, on voit donc que si x, est un point
quelconque de la boule ouverte W de centre b et de rayon r/4, on a ~ ( t ,
t,, x,) E V
quels que soient t ct t, dans M. Si x = u(t, t,, x,), la fonction s H u(s, t, x) est
donc définie dans I< et égale à l'intégrale de (1) qui prend la valeur x au point t,
c'est-à-dire à u(s, t,, x,) ; en particulier
D'ailleurs, si y E V est tel que x, = ~ ( t , ,
t, y), l'intégrale s H u(s, t, y) prend la
valeur x, au point t,, donc est identique à s tt u(s, t,, x,), et par suite prend la
valeur x au point t, ce qui montre que y = x et achève la démonstration.
1. Existence des intégrales d'une 6qraation dilérentielle linéaire
Soient E un espace normé complet sur le corps Hi, J un intervalle dans R, non
réduit à un point. On dit qu'une équation différentielle
où f est définie dans J x E, est une équation linéaire si, pour tout t E J, l'application x » f(t, x) est une application linéaire a$ne continue1 dc E dans lui-même; si
on pose b(t) = f(t, O), l'application x H f (t, x) - f(t, O) = f(t, x) - b(t) est
donc une application linéaire continue de E dans lui-même; nous désignerons
désormais cette application par A(t), et nous noterons A(t) . x (ou simplement
A(t)x) sa valeur en un point x E E; l'équation différentielle linéaire (1) s'écrit
donc
Rappelons que si E est de dimension finie, toute application linéaire affine de E dans luimême est continue (TG, VI, p. 3 et 6 ) .
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
d'après le th. des accroissements finis, c'est-à-dire
comme u(t, t2, x,) est identique à l'intégrale qui, au point t,, prend la valeur
u(t,, t2, x,), la prop. 5 (IV, p. 7) montre que l'on a
(22)
//"(t, tl, xo) - ~ ( t ,
t 2 , xo) I l G e2k11tz - t1l
quels que soient t, t,, t2 dans K et x, dans V. Les trois inégalités (20), (21) et (22)
démontrent donc la continuité uniforme de l'application (t, t,, x,) tt u(t, t,, x,)
dans K x K x V.
3" D'après (20), on a Ilu(t, t,, x,) - x, // < Mlt - t,l G 2MZ dans
Si Z a été pris assez petit pour que 2M1 < r/4, on voit donc que si x, est un point
quelconque de la boule ouverte W de centre b et de rayon r/4, on a ~ ( t ,
t,, x,) E V
quels que soient t ct t, dans M. Si x = u(t, t,, x,), la fonction s H u(s, t, x) est
donc définie dans I< et égale à l'intégrale de (1) qui prend la valeur x au point t,
c'est-à-dire à u(s, t,, x,) ; en particulier
D'ailleurs, si y E V est tel que x, = ~ ( t , ,
t, y), l'intégrale s H u(s, t, y) prend la
valeur x, au point t,, donc est identique à s tt u(s, t,, x,), et par suite prend la
valeur x au point t, ce qui montre que y = x et achève la démonstration.
1. Existence des intégrales d'une 6qraation dilérentielle linéaire
Soient E un espace normé complet sur le corps Hi, J un intervalle dans R, non
réduit à un point. On dit qu'une équation différentielle
où f est définie dans J x E, est une équation linéaire si, pour tout t E J, l'application x » f(t, x) est une application linéaire a$ne continue1 dc E dans lui-même; si
on pose b(t) = f(t, O), l'application x H f (t, x) - f(t, O) = f(t, x) - b(t) est
donc une application linéaire continue de E dans lui-même; nous désignerons
désormais cette application par A(t), et nous noterons A(t) . x (ou simplement
A(t)x) sa valeur en un point x E E; l'équation différentielle linéaire (1) s'écrit
donc
Rappelons que si E est de dimension finie, toute application linéaire affine de E dans luimême est continue (TG, VI, p. 3 et 6 ) .