No 7
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 15
TIIÉORÈME 4. - Soient f une fonction localement lipschitzienne dans 1 x H, (a, b) un
point quelconque de I x H.
1" Il existe un intervalle K c 1, voisinage & a dans 1, et un voisinage V de b dans H
tels que, pour tout point (t,, x,) de K x V, il existe une iztégrale et une seub ~ ( t ,
t,, x,)
définie dans K, à valeurs dans N et égale à x, au point 1, (autrement dit, on a
J(t,, x,) 3 K quel que soit (t,, x,) E K x V).
2" L'application (t, t,, x,) H ~ ( t ,
t,, x,) de K x K x V dans H est unifor~nément
continue.
3" 1-1 existe un voisinage MT c V de b clam H tel que, pour tout poinl
(t, tO, x,) E K x K x W,
l'équation x, = u(t,, t, x) ait danr V une solution unique x égale à ~ ( t ,
t,, x,) (G résolution de l'intégrale par rapport à la constante d'intégration >>).
1" Soient S une boule de centre b et de rayon r contenue dans H, JO un intervalle contenu dans 1 et voisinage de a dans 1, tels que f soit bornée et lipschitziennc (pour une certaine constante k) dans JO x S; nous désignerons par
M la borne supéricure de ljâ(t, x) Ij dans JO x S. Il existe alors (IV, p. 10, th. 1)
un intervalle J c JO, voisinage de a dans 1, et une intégrale v de x' = f(t, x)
définie dans J, à valeurs dans S et égale à b au point a. Nous allons voir que la
boule ouverte V de centre b et de rayon r/2, et l'intersection K de J et d'un intervalle )a - l, a + 14, où 1 est assez petit, répondent à la question. En effet, la
prop. 7 de IV, p. 13 (appliquée à l'ensemble J, x S et au cas où oc = O) montre
qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) d@nie dans K, à valeurs dans S, et égale
à x, en un point t, E K, pourvu que l'on ait
pour tout t E K. Or, d'après le th. des accroissements finis, on a
pour tout t E K; comme /lx, - Bp/l < r/2, on voit qu'il suffit de prendre 1 tel que
(19)
Ml + (Ml + r/2) e2k1 < r
pour que la relation (18) soit vérifiée pour tout point (t, to, x,) de K x K x V.
2" D'après le th. des accroissements finis, on a
(20)
t ~ ,
~ 0 )
- ~ ( ~ 2 7
t ~ ,
~ 0 )
1 1
- tll
quels que soient t,, t,, t, dans K et x, dans V. La prop. 5 (IV, p. 7) montre que
quels que soient t et t, dans M, x, et x, dans V. Enfin, si t, et t, sont deux points
quelconques de K, on a
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 15
TIIÉORÈME 4. - Soient f une fonction localement lipschitzienne dans 1 x H, (a, b) un
point quelconque de I x H.
1" Il existe un intervalle K c 1, voisinage & a dans 1, et un voisinage V de b dans H
tels que, pour tout point (t,, x,) de K x V, il existe une iztégrale et une seub ~ ( t ,
t,, x,)
définie dans K, à valeurs dans N et égale à x, au point 1, (autrement dit, on a
J(t,, x,) 3 K quel que soit (t,, x,) E K x V).
2" L'application (t, t,, x,) H ~ ( t ,
t,, x,) de K x K x V dans H est unifor~nément
continue.
3" 1-1 existe un voisinage MT c V de b clam H tel que, pour tout poinl
(t, tO, x,) E K x K x W,
l'équation x, = u(t,, t, x) ait danr V une solution unique x égale à ~ ( t ,
t,, x,) (G résolution de l'intégrale par rapport à la constante d'intégration >>).
1" Soient S une boule de centre b et de rayon r contenue dans H, JO un intervalle contenu dans 1 et voisinage de a dans 1, tels que f soit bornée et lipschitziennc (pour une certaine constante k) dans JO x S; nous désignerons par
M la borne supéricure de ljâ(t, x) Ij dans JO x S. Il existe alors (IV, p. 10, th. 1)
un intervalle J c JO, voisinage de a dans 1, et une intégrale v de x' = f(t, x)
définie dans J, à valeurs dans S et égale à b au point a. Nous allons voir que la
boule ouverte V de centre b et de rayon r/2, et l'intersection K de J et d'un intervalle )a - l, a + 14, où 1 est assez petit, répondent à la question. En effet, la
prop. 7 de IV, p. 13 (appliquée à l'ensemble J, x S et au cas où oc = O) montre
qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) d@nie dans K, à valeurs dans S, et égale
à x, en un point t, E K, pourvu que l'on ait
pour tout t E K. Or, d'après le th. des accroissements finis, on a
pour tout t E K; comme /lx, - Bp/l < r/2, on voit qu'il suffit de prendre 1 tel que
(19)
Ml + (Ml + r/2) e2k1 < r
pour que la relation (18) soit vérifiée pour tout point (t, to, x,) de K x K x V.
2" D'après le th. des accroissements finis, on a
(20)
t ~ ,
~ 0 )
- ~ ( ~ 2 7
t ~ ,
~ 0 )
1 1
- tll
quels que soient t,, t,, t, dans K et x, dans V. La prop. 5 (IV, p. 7) montre que
quels que soient t et t, dans M, x, et x, dans V. Enfin, si t, et t, sont deux points
quelconques de K, on a