FVR IV.14
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 1
Comme v, est solution approchée de x' = g(t, x) à cc près dans (t,, t,(, il existe
un nombre M > O tel que Il'brl,(t) I/ < M dans cet intervalle, sauf aux points
d'un ensemble dénombrable; le th. des accroissements finis montre alors que
Ilv,(s) - v,(t) 1 1 6 Mls - t 1 pour tout couple de points s, t de [t,, t,[, donc
(critère de Caucliy) v,(t) a une limite à gauche c au point t,, et, par continuité,
on a llc - ~ ( t , )
1 1 < rp(t,), donc c E H. On voit alors par IV, p. 10, th. 1 ou
IV, p. 6, corollaire, qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) définie dans un
intervalle (t,, ta( et Cgale à c au point t,, ce qui contredit la définition de v,.
THÉORÈME 3. - Soient F un espace topologique, f une a&dication de 1 x H x F dans
E telle que, pour tout E E F, (t, x) H f(t, x, E) soit lipschitzienne dans I x H, et que,
lorsque 5 tend vers 5,, f (t, x, 5) tende unformément vers f(t, x, 5,) dans 1 x H.
Soit u,(t) une intégrale de x' = E(t, x, E,), d&nie dans un intervalle J = [ta, b[ contenu
dans 1, à valeurs dans H et égale à x, au point t,. Pour toui intervalle compact [ta, t,)
contenu dans J, il existe un voi.sinage V de 5, dans F tel que, pour tout E V, l'équation
x' = f(t, x, E) ait une intégrale (et une seule) a(i, 5) d&nie dans [t,, t,), à valeurs dans
H et égale à x, nu point t,; en outre, lorsque 5 tend vers E,, aa(t, 5) tend uniformément vers
=o(t) dans dto, tlB"
En effet, soit r > O tel que, pour t, < t 6 t,, la boule fermée de centre w,(t)
et de rayon r soit contenue dans H; si f(t, x, 5,) est lipschitzienne pour la consek(ti-to) - 1
tante k > O dans 1 x H, prenons cc assez petit pour que cc
k
< r; en
prenant V tel quc, pour tout E E V, on ait jlf(t, w, 5) - f(t, x, E,) jj < cc dans
1 x H, on répondra à Ia question en vertu de la prop. 7 de IV, p. 13; en outre,
011 a
dans (t,, t,), ce qui achève de démontrer le tl-iéorèmc.
Remarque. - Lorsque H = E et que la condition (16) de IV, p. 13, est vérifiée dans
1 x E, la prop. 7 de IV, p. 13, s'applique à toute solution u de x' = g(t, x), dans un
intervalle quelconque où cettc solution est definie; on peut même supposcr que g(t, x)
est lipschitzienne pour une fonction k ( t ) régléc dans K , mais non nécessairement
bornéc dans cet intervallc.
7. Dépendance des conditions initiales
Soit x' = f(t, X) une équation localement lipschitzienne dans 1 x I-I; d'après
le th. 2 (IV, p. 1 l), pour tout point (t,, x,) de 1 x H, il existe un plus grand
intervalle J(t,, x,) c 1, non réduit à un point, contenant t,, et dans lequel il
existe une intégrale (et une seule) de l'équation, égale à x, au point t,; nous
allons préciser la manière dont cette intégrale, et l'intervalle J(t,, x,) oh elle est
définie, dépendent du point (t,, x,).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
$ 1
Comme v, est solution approchée de x' = g(t, x) à cc près dans (t,, t,(, il existe
un nombre M > O tel que Il'brl,(t) I/ < M dans cet intervalle, sauf aux points
d'un ensemble dénombrable; le th. des accroissements finis montre alors que
Ilv,(s) - v,(t) 1 1 6 Mls - t 1 pour tout couple de points s, t de [t,, t,[, donc
(critère de Caucliy) v,(t) a une limite à gauche c au point t,, et, par continuité,
on a llc - ~ ( t , )
1 1 < rp(t,), donc c E H. On voit alors par IV, p. 10, th. 1 ou
IV, p. 6, corollaire, qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) définie dans un
intervalle (t,, ta( et Cgale à c au point t,, ce qui contredit la définition de v,.
THÉORÈME 3. - Soient F un espace topologique, f une a&dication de 1 x H x F dans
E telle que, pour tout E E F, (t, x) H f(t, x, E) soit lipschitzienne dans I x H, et que,
lorsque 5 tend vers 5,, f (t, x, 5) tende unformément vers f(t, x, 5,) dans 1 x H.
Soit u,(t) une intégrale de x' = E(t, x, E,), d&nie dans un intervalle J = [ta, b[ contenu
dans 1, à valeurs dans H et égale à x, au point t,. Pour toui intervalle compact [ta, t,)
contenu dans J, il existe un voi.sinage V de 5, dans F tel que, pour tout E V, l'équation
x' = f(t, x, E) ait une intégrale (et une seule) a(i, 5) d&nie dans [t,, t,), à valeurs dans
H et égale à x, nu point t,; en outre, lorsque 5 tend vers E,, aa(t, 5) tend uniformément vers
=o(t) dans dto, tlB"
En effet, soit r > O tel que, pour t, < t 6 t,, la boule fermée de centre w,(t)
et de rayon r soit contenue dans H; si f(t, x, 5,) est lipschitzienne pour la consek(ti-to) - 1
tante k > O dans 1 x H, prenons cc assez petit pour que cc
k
< r; en
prenant V tel quc, pour tout E E V, on ait jlf(t, w, 5) - f(t, x, E,) jj < cc dans
1 x H, on répondra à Ia question en vertu de la prop. 7 de IV, p. 13; en outre,
011 a
dans (t,, t,), ce qui achève de démontrer le tl-iéorèmc.
Remarque. - Lorsque H = E et que la condition (16) de IV, p. 13, est vérifiée dans
1 x E, la prop. 7 de IV, p. 13, s'applique à toute solution u de x' = g(t, x), dans un
intervalle quelconque où cettc solution est definie; on peut même supposcr que g(t, x)
est lipschitzienne pour une fonction k ( t ) régléc dans K , mais non nécessairement
bornéc dans cet intervallc.
7. Dépendance des conditions initiales
Soit x' = f(t, X) une équation localement lipschitzienne dans 1 x I-I; d'après
le th. 2 (IV, p. 1 l), pour tout point (t,, x,) de 1 x H, il existe un plus grand
intervalle J(t,, x,) c 1, non réduit à un point, contenant t,, et dans lequel il
existe une intégrale (et une seule) de l'équation, égale à x, au point t,; nous
allons préciser la manière dont cette intégrale, et l'intervalle J(t,, x,) oh elle est
définie, dépendent du point (t,, x,).