No 6
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 13
6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre
La prop. 6 (IV, p. 9) montre que lorsqu'une équation différentielle
est ((voisine )> d'une équation lipschitzienne x' = g(t, x) et qu'on suppose que
les deux équations admettent chacune une solution approchée dans un même
intervalle, ces deux solutions approchées sont << voisines )>; nous allons préciser ce
résultat en montrant que l'existence de solutions de l'équation lipschitzienne
x' = g(t, x) dans un intervalle entraine celle de solutions approchées de l'équation
x' = f (t, x) dans le même intervalle pourvu que, dans ce dernier, les valeurs de la
solution de x' = g(t, x) ne soient pas (< trop voisines O de la frontière de H.
PROPOSITION 7. - Soient f et g deux fonctions déJinies dans 1 x H, satisfaisant aux
conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telles que, dans 1 x H
On suppose en outre que g soit lipschitzienne pour la constante k > O dans 1 x H, et
que f soit localement lipschitzienne dans 1 x H, ou que E soit de dimensionjnie. Soient
(t,, x,) un point de 1 x H, p. un nombre >O, et
Soit u une intégrale de l'équation x' = g(t, x), déJinie dans un interualle K = (t,, b(
contenu dans 1, égale à x, au point to et telle que, pour tout t E K, la boule fermée de centre
u(t) et de rayon ~ ( t )
soit contenue dans H. Dans ces conditions, pour tout y E H tel que
Il y - x, 11 < p, il existe une intégrale v de x' = f (t, x), définie dans K, à valeurs dans H,
et égale à y au point t,; en outre, on a Ilu(t) - v(t) 1 1 S q(t) dans K.
Soit klll l'ensemble des intégrales de x' = f(t, x), dont chacune prend ses
valeurs dans H, est égale à y au point t, et est définie dans un intervalle semiouvert (t,, T( contenu dans 1 (dépendant de l'intégrale que l'on considère).
D'après le th. 1 de IV, p. 10 (lorsque f est localement lipschitzienne) ou IV,
p. 6, corollaire (lorsque E est de dimension finie), W n'est pas vide, et le même
raisonnement que dans la prop. 3 de IV, p. 5, montre que W est inductifquand on
l'ordonne par la relation <( v est une restriction de w )). Soit v, un élément
maximal de klll, (t,, t,( l'intervalle où est définie v,; d'après la prop. 6 de IV,
p. 9, tout revient à prouver que tl 2 6. Dans le cas contraire, on aurait
dans l'intervalle (t,, t,( en vertu de la prop. 6; dans l'intervalle compact (t,, t,),
la fonction réglée g(t, u(t)) est bornée, donc, dans l'intervalle (t,, t,(, g(t, v,(t))
est bornée, puisque l'on a lIg(t, v,(t)) j/ 6 1 1 g(t, u(t)) / I + kq(t) dans cet intervalle.
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 13
6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre
La prop. 6 (IV, p. 9) montre que lorsqu'une équation différentielle
est ((voisine )> d'une équation lipschitzienne x' = g(t, x) et qu'on suppose que
les deux équations admettent chacune une solution approchée dans un même
intervalle, ces deux solutions approchées sont << voisines )>; nous allons préciser ce
résultat en montrant que l'existence de solutions de l'équation lipschitzienne
x' = g(t, x) dans un intervalle entraine celle de solutions approchées de l'équation
x' = f (t, x) dans le même intervalle pourvu que, dans ce dernier, les valeurs de la
solution de x' = g(t, x) ne soient pas (< trop voisines O de la frontière de H.
PROPOSITION 7. - Soient f et g deux fonctions déJinies dans 1 x H, satisfaisant aux
conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telles que, dans 1 x H
On suppose en outre que g soit lipschitzienne pour la constante k > O dans 1 x H, et
que f soit localement lipschitzienne dans 1 x H, ou que E soit de dimensionjnie. Soient
(t,, x,) un point de 1 x H, p. un nombre >O, et
Soit u une intégrale de l'équation x' = g(t, x), déJinie dans un interualle K = (t,, b(
contenu dans 1, égale à x, au point to et telle que, pour tout t E K, la boule fermée de centre
u(t) et de rayon ~ ( t )
soit contenue dans H. Dans ces conditions, pour tout y E H tel que
Il y - x, 11 < p, il existe une intégrale v de x' = f (t, x), définie dans K, à valeurs dans H,
et égale à y au point t,; en outre, on a Ilu(t) - v(t) 1 1 S q(t) dans K.
Soit klll l'ensemble des intégrales de x' = f(t, x), dont chacune prend ses
valeurs dans H, est égale à y au point t, et est définie dans un intervalle semiouvert (t,, T( contenu dans 1 (dépendant de l'intégrale que l'on considère).
D'après le th. 1 de IV, p. 10 (lorsque f est localement lipschitzienne) ou IV,
p. 6, corollaire (lorsque E est de dimension finie), W n'est pas vide, et le même
raisonnement que dans la prop. 3 de IV, p. 5, montre que W est inductifquand on
l'ordonne par la relation <( v est une restriction de w )). Soit v, un élément
maximal de klll, (t,, t,( l'intervalle où est définie v,; d'après la prop. 6 de IV,
p. 9, tout revient à prouver que tl 2 6. Dans le cas contraire, on aurait
dans l'intervalle (t,, t,( en vertu de la prop. 6; dans l'intervalle compact (t,, t,),
la fonction réglée g(t, u(t)) est bornée, donc, dans l'intervalle (t,, t,(, g(t, v,(t))
est bornée, puisque l'on a lIg(t, v,(t)) j/ 6 1 1 g(t, u(t)) / I + kq(t) dans cet intervalle.