FVR IV. 12
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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intervalle (t,, t,) contenant p, et égale à u(t,) au point t,; comme cette intégrale
coïncide avec u dans l'intervalle [t,, P(, J = (t,, P( ne serait pas le plus grand des
intervalles de m, ce qui est absurde.
3 O Supposons que J soit borné et que Ilf(t, ~ ( t ) )
I I < M dans J; on a donc
Iluf(t) 1 1 $ M dans le complémentaire d'une partie dénombrable de J; par suite
Iju(s) - u(t) I I $ Mls - tl quels que soient s et t dans J, en vertu du th. des
accroissements finis; d'après le critère de Cauchy, u a donc une limite à gauche
c à l'extrémité p de J. Si J # 1, c ne peut appartenir à H, car en prolongeant u
par continuité au point p, ai serait une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie
dans l'intervalle (t,, fi) et égale à x, au point t,; on aurait donc J = (t,, P),
contrairement à ce qu'on a vu au 2 O .
COROLLAIRE 1. - Si H = E et J # 1, f(t, u ( t ) ) n' est pas bornée dans J; si de plus E
est de dimensionjnie, llu(t) / I a pour limite à gauche +CO à l'extrémité de J.
La première partie est une conséquence immédiate de la troisième partie du
th. 2. Si E est de dimension finie, toute boule fermée S c E est compacte, donc
la seconde partie du th. 2 montre qu'il existe y E J tel que u(t) 4 S pour t > y.
Si E est de dimension infinie, il peut se faire que J f 1, mais que jlu(t) 11 reste bornée
lorsque t tend vers l'extrémité de J (IV, p. 37, exerc. 5 ) .
COROLLAIRE 2. - Si, dans 1 x H, f est lipschitzienne pour une fonction réglée k(t), et
si l'extrémité de J appartient à 1, u a une limite à gauche au point p; si H = E et si f
est lipschitziennepour une fonction réglée k(t) dans 1 x E, on a J = 1.
En effet, si p E 1, il existe un voisinage compact V de p dans 1, tel que f(t, x,)
et k(t) soient bornées dans V; on a donc Ilf(t, x) I I $ mllxll + h (m et h constantes)
dans V x H, d'où Ilul(t) 1 1 < mllu(t) 1 1 + h dans le complémentaire d'une partie
dénombrable de V n J, et par suite jlu(t) I I $ m llu(s) 11 ds + q ( q constante)
dans V n J; le lemme 2 (IV, p. 8) montre que Ilu(t) / I $ cemt + d (c et d constantes) dans V n J, donc f(t, u(t)) reste bornée dans J, et le corollaire résulte
alors du th. 2 de IV, p. Il.
Exemfiles. - 1) Pour une équation différentielle de la forme x ' = g(t), où g. est
réglée dans 1, toute intégrale u est évidemment définie dans 1 tout entier. On notera
que u peut être bornée dans 1 sans que g(t) le soit.
2) Pour l'équation scalaire x' = 2/ 1 - x2, on a 1 = R, N = ) - 1,1(. Si on
prend to = xo = 0, l'intégrale correspondante est sin t dans le plus grand intervalle
contenant O, où la dérivée de sin t soit positive, c'est-à-dire dans ) - $ 2 , + x / 2 ( ; aux
extrémités de cet intervalle, l'intégrale tend vers une extrémité de H.
3) Pour l'équation scalaire x' = 1 + x2, on a I = H = R ; l'intégrale nulle pour
t = O est tg t, et le plus grand intervalle contenant O, où cette fonction est continue,
est J = ) - x/2, + x/2(; aux extrémités de J, 1 tg tl tend vers + co (cf. IV, p. 12, cor.
1).
4) Pour l'équation scalaire x' = sin tx, on a 1 = H = R et le second membre
est borné dans 1 x H, donc (IV, p. 12, cor. 1) toute intégrale est définie dans R tout
entier.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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intervalle (t,, t,) contenant p, et égale à u(t,) au point t,; comme cette intégrale
coïncide avec u dans l'intervalle [t,, P(, J = (t,, P( ne serait pas le plus grand des
intervalles de m, ce qui est absurde.
3 O Supposons que J soit borné et que Ilf(t, ~ ( t ) )
I I < M dans J; on a donc
Iluf(t) 1 1 $ M dans le complémentaire d'une partie dénombrable de J; par suite
Iju(s) - u(t) I I $ Mls - tl quels que soient s et t dans J, en vertu du th. des
accroissements finis; d'après le critère de Cauchy, u a donc une limite à gauche
c à l'extrémité p de J. Si J # 1, c ne peut appartenir à H, car en prolongeant u
par continuité au point p, ai serait une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie
dans l'intervalle (t,, fi) et égale à x, au point t,; on aurait donc J = (t,, P),
contrairement à ce qu'on a vu au 2 O .
COROLLAIRE 1. - Si H = E et J # 1, f(t, u ( t ) ) n' est pas bornée dans J; si de plus E
est de dimensionjnie, llu(t) / I a pour limite à gauche +CO à l'extrémité de J.
La première partie est une conséquence immédiate de la troisième partie du
th. 2. Si E est de dimension finie, toute boule fermée S c E est compacte, donc
la seconde partie du th. 2 montre qu'il existe y E J tel que u(t) 4 S pour t > y.
Si E est de dimension infinie, il peut se faire que J f 1, mais que jlu(t) 11 reste bornée
lorsque t tend vers l'extrémité de J (IV, p. 37, exerc. 5 ) .
COROLLAIRE 2. - Si, dans 1 x H, f est lipschitzienne pour une fonction réglée k(t), et
si l'extrémité de J appartient à 1, u a une limite à gauche au point p; si H = E et si f
est lipschitziennepour une fonction réglée k(t) dans 1 x E, on a J = 1.
En effet, si p E 1, il existe un voisinage compact V de p dans 1, tel que f(t, x,)
et k(t) soient bornées dans V; on a donc Ilf(t, x) I I $ mllxll + h (m et h constantes)
dans V x H, d'où Ilul(t) 1 1 < mllu(t) 1 1 + h dans le complémentaire d'une partie
dénombrable de V n J, et par suite jlu(t) I I $ m llu(s) 11 ds + q ( q constante)
dans V n J; le lemme 2 (IV, p. 8) montre que Ilu(t) / I $ cemt + d (c et d constantes) dans V n J, donc f(t, u(t)) reste bornée dans J, et le corollaire résulte
alors du th. 2 de IV, p. Il.
Exemfiles. - 1) Pour une équation différentielle de la forme x ' = g(t), où g. est
réglée dans 1, toute intégrale u est évidemment définie dans 1 tout entier. On notera
que u peut être bornée dans 1 sans que g(t) le soit.
2) Pour l'équation scalaire x' = 2/ 1 - x2, on a 1 = R, N = ) - 1,1(. Si on
prend to = xo = 0, l'intégrale correspondante est sin t dans le plus grand intervalle
contenant O, où la dérivée de sin t soit positive, c'est-à-dire dans ) - $ 2 , + x / 2 ( ; aux
extrémités de cet intervalle, l'intégrale tend vers une extrémité de H.
3) Pour l'équation scalaire x' = 1 + x2, on a I = H = R ; l'intégrale nulle pour
t = O est tg t, et le plus grand intervalle contenant O, où cette fonction est continue,
est J = ) - x/2, + x/2(; aux extrémités de J, 1 tg tl tend vers + co (cf. IV, p. 12, cor.
1).
4) Pour l'équation scalaire x' = sin tx, on a 1 = H = R et le second membre
est borné dans 1 x H, donc (IV, p. 12, cor. 1) toute intégrale est définie dans R tout
entier.