No 5
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 1 1
THÉORÈME 2. - Soient 1 c R un intervalle (non réduit à un point) d'origine to E 1, H
une partie ouverte non vide de E, f une fonction localement lipschitzienne dans I x H.
1" Pour tout x, E H, il existe un plus grand intervalle J c 1, d'origine t, E J, dans
lequel il existe une intég~ale u de l'équation x' = f(t, x), prenant ses valeurs dans H et
égale à x, au point to ; cette intégrale est unique.
2 O Si J # 1, J est un intervalle semi-ouvert [t,, de longueurjnie; en outre, pour toute
partie compacte K c H, 2 (K) est alors une partie compacte de R.
3 O Si J est borné, et si f(t, a ( t ) ) est bornée dans J, u(t) a une limite à gauche c à
l'extrémité de J; en outre, si J # 1, c est un point frontière de H dans E.
1" Soit W l'ensemble des intervalles L (non réduits à un point) d'origine
t, E L, contenus dans 1 et tels que, dans L, il existe une solution de (1) (IV, p. 2)
à valeurs dans H et égale à xo au point t, ; d'après le th. 1 (IV, p. IO), l'ensemble
n'est pas vide. Soient L, L' deux intervalles appartenant à %, et supposons par
exemple que L c L'; si u et v sont deux intégrales de ( l ) , définies respectivement dans L et L', à valeurs dans H et égales à x, au point t,, nous allons voir
que v est un prolongement de u. En effet, soit t, la borne supérieure de l'ensemble
des t E L tels que u(s) = v(s) pour to 6 s 6 t; nous allons prouver que t, est
l'extrémité de L. Dans le cas contraire, on aurait ia(t,) = v(t,) par continuité, et
x, = u(t,) appartiendrait à H ; comme f est localement lipschitzienne, le th. 1
prouve qu'il ne peut exister qu'une seule intégrale de (1) définie dans un voisinage
de t,, à valeurs dans H et égale à x, au point t,; il y a donc contradiction à supposer que t, ne soit pas l'extrémité de L. Nous voyons donc que, si J est la réunion
des intervalles L E %%, il existe une intégrale u et une seule de (l), définie dans J,
à valeurs dans H et égale à xo au point t,.
2" Supposons J # 1, et soit P l'extrémité de J; si P est l'extrémité de 1, on a
p E 1 (donc p est fini) et J = (t,, p[ en vertu de l'hypothèse. Supposons donc que
p ne soit pas l'extrémité de I ; si ( 3 E J, u(P) = c appartient à H; d'après le th. 1,
il existe une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans un intervalle
et égale à c au point P; J ne serait donc pas le plus grand des intervalles de n, ce
qui est absurde; on a donc bien J = [to, @(.
Si K est une partie compacte de H,; (K) est fermé dans J; nous allons voir
qu'il existe y E J tel que$ (K) soit contenu dans [t,, y), ce qui prouvera
(K)
est compact. Dans le cas contraire, il existerait un point c E K tel que ((3, c ) soit
adhérent à l'ensemble des points (t, u(t)) tels que t < P et ~ ( t )
E K. Comme
fi E 1 et c E H, il existerait un voisinage V de p dans I et une boule ouverte S de
centre c et de rayon r, contenue dans H, tels que f soit lipschitzienne et bornée dans
V x S; soit M la borne supérieure de Ilf(t, x) j/ dans cet ensemble. Par hypothèse,
il existe t, E J tel que p - t, < r/2M, t, E V et l/iu(t,) - cl1 6 4 2 ; le th. 1 montre
qu'il existe une intégrale et une seule de ( l ) , à valeurs dans H, définie dans un
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV. 1 1
THÉORÈME 2. - Soient 1 c R un intervalle (non réduit à un point) d'origine to E 1, H
une partie ouverte non vide de E, f une fonction localement lipschitzienne dans I x H.
1" Pour tout x, E H, il existe un plus grand intervalle J c 1, d'origine t, E J, dans
lequel il existe une intég~ale u de l'équation x' = f(t, x), prenant ses valeurs dans H et
égale à x, au point to ; cette intégrale est unique.
2 O Si J # 1, J est un intervalle semi-ouvert [t,, de longueurjnie; en outre, pour toute
partie compacte K c H, 2 (K) est alors une partie compacte de R.
3 O Si J est borné, et si f(t, a ( t ) ) est bornée dans J, u(t) a une limite à gauche c à
l'extrémité de J; en outre, si J # 1, c est un point frontière de H dans E.
1" Soit W l'ensemble des intervalles L (non réduits à un point) d'origine
t, E L, contenus dans 1 et tels que, dans L, il existe une solution de (1) (IV, p. 2)
à valeurs dans H et égale à xo au point t, ; d'après le th. 1 (IV, p. IO), l'ensemble
n'est pas vide. Soient L, L' deux intervalles appartenant à %, et supposons par
exemple que L c L'; si u et v sont deux intégrales de ( l ) , définies respectivement dans L et L', à valeurs dans H et égales à x, au point t,, nous allons voir
que v est un prolongement de u. En effet, soit t, la borne supérieure de l'ensemble
des t E L tels que u(s) = v(s) pour to 6 s 6 t; nous allons prouver que t, est
l'extrémité de L. Dans le cas contraire, on aurait ia(t,) = v(t,) par continuité, et
x, = u(t,) appartiendrait à H ; comme f est localement lipschitzienne, le th. 1
prouve qu'il ne peut exister qu'une seule intégrale de (1) définie dans un voisinage
de t,, à valeurs dans H et égale à x, au point t,; il y a donc contradiction à supposer que t, ne soit pas l'extrémité de L. Nous voyons donc que, si J est la réunion
des intervalles L E %%, il existe une intégrale u et une seule de (l), définie dans J,
à valeurs dans H et égale à xo au point t,.
2" Supposons J # 1, et soit P l'extrémité de J; si P est l'extrémité de 1, on a
p E 1 (donc p est fini) et J = (t,, p[ en vertu de l'hypothèse. Supposons donc que
p ne soit pas l'extrémité de I ; si ( 3 E J, u(P) = c appartient à H; d'après le th. 1,
il existe une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans un intervalle
et égale à c au point P; J ne serait donc pas le plus grand des intervalles de n, ce
qui est absurde; on a donc bien J = [to, @(.
Si K est une partie compacte de H,; (K) est fermé dans J; nous allons voir
qu'il existe y E J tel que$ (K) soit contenu dans [t,, y), ce qui prouvera
(K)
est compact. Dans le cas contraire, il existerait un point c E K tel que ((3, c ) soit
adhérent à l'ensemble des points (t, u(t)) tels que t < P et ~ ( t )
E K. Comme
fi E 1 et c E H, il existerait un voisinage V de p dans I et une boule ouverte S de
centre c et de rayon r, contenue dans H, tels que f soit lipschitzienne et bornée dans
V x S; soit M la borne supérieure de Ilf(t, x) j/ dans cet ensemble. Par hypothèse,
il existe t, E J tel que p - t, < r/2M, t, E V et l/iu(t,) - cl1 6 4 2 ; le th. 1 montre
qu'il existe une intégrale et une seule de ( l ) , à valeurs dans H, définie dans un