FVR IV. IO
ÉQUATIONS DIPFÉRENTIELLES
$ 1
En effet, on a, pour tout t dans le complémentaire par rapport à 1 d'une
partie dénombrable de 1,
llu'(t> - d t , 4 t ) ) JI G or. + EI
autrement dit, u est solution approchée de x' = g(t, x) à cc + E , près, d'où
l'inégalité (17) par application de la prop. 5 de IV, p. 7.
5. Existence et unicité des sol~tlons des équations lipschitziennes et localement
lipschitziennes
THÉORÈME 1 (Cauchy). -Soient f une fonction l$schitzienne dans 1 x H, J un
interualle compact contenu dans 1 et non réduit à un point, t, un point de J, S une boule ouverte
de centre x, et de rayon r, contenue dans H, M la borne supérieure de I/f(t, x) 1 1 dans J x S.
Dans ces conditions, pour tout intervalle compact K non réduit à un point, contenu dans
l'intersection de J et de )to - r/M, t, + r/MQ et contenant t,, il existe une solution et une
seule de l'équation dz$érentielle x' = f (t, x), dgnie dans K, à valeurs dans S et égale à xo
au point t,.
En effet, pour tout s > O assez petit, l'ensemble FE des solutions approchées de
(1) à E près, définies dans K, à valeurs dans S et égales à x, au point t,, n'est pas
vide (IV, p. 5, prop. 3) ; en outre, si u et v appartiennent à F,, on a, d'après (15)
(IV, P. 9)
eklt-tol - 1
llu(t) - v(t) 11 G 2~
k
pour tout t E K, donc les ensembles F, forment une base de filtre @ qui converge
uniformément dans K vers une fonction continue w, égale à xo au point t,; w prend
ses valeurs dans S, parce que, dès que E est assez petit, les fonctions u E F, prennent leurs valeurs dans une boule fermée contenue dans S. Comme f(t, u(t))
tend uniformément dans K vers f(t, w(t)) suivant @, w satisfait à l'équation (6)
de IV, p. 4, donc est solution de (1). L'unicité de la solution découle aussitôt de
l'inégalité (15) de IV, p. 9, où on fait E, = E, = O et u(t,) = v(t,).
Nous dirons qu'une fonction f définie dans 1 x H est localement l$schitzienne
dans cet ensemble si, pour tout point (t, x) de 1 x H, il existe un voisinage V de t
(par rapport à 1) et un voisinage S de x tels que f soit lipschitzienne dans V x S
(pour une constante k dépendant de V et de S). En vertu du th. de Borel-Lebesgue,
pour tout intervalle compact J 1 et tout point xo G H, il existe une boule
ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f soit lipschitzienne dans J x S;
f satisfait donc aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3. Lorsque f est localement
lipschitzienne dans 1 x H, nous dirons que l'équation x' = f(t, x) est localement
l$schitzienne dans 1 x H.
Nous allons généraliser et préciser le th. 1 de IV, p. 10 pour les équations
localement lipschitziennes; nous nous bornerons au cas oh to est l'origine de l'intervalle 1; on passe aisément de là au cas où to est un point quelconque de 1 (cf. IV,
IV, p. 9, corollaire).
ÉQUATIONS DIPFÉRENTIELLES
$ 1
En effet, on a, pour tout t dans le complémentaire par rapport à 1 d'une
partie dénombrable de 1,
llu'(t> - d t , 4 t ) ) JI G or. + EI
autrement dit, u est solution approchée de x' = g(t, x) à cc + E , près, d'où
l'inégalité (17) par application de la prop. 5 de IV, p. 7.
5. Existence et unicité des sol~tlons des équations lipschitziennes et localement
lipschitziennes
THÉORÈME 1 (Cauchy). -Soient f une fonction l$schitzienne dans 1 x H, J un
interualle compact contenu dans 1 et non réduit à un point, t, un point de J, S une boule ouverte
de centre x, et de rayon r, contenue dans H, M la borne supérieure de I/f(t, x) 1 1 dans J x S.
Dans ces conditions, pour tout intervalle compact K non réduit à un point, contenu dans
l'intersection de J et de )to - r/M, t, + r/MQ et contenant t,, il existe une solution et une
seule de l'équation dz$érentielle x' = f (t, x), dgnie dans K, à valeurs dans S et égale à xo
au point t,.
En effet, pour tout s > O assez petit, l'ensemble FE des solutions approchées de
(1) à E près, définies dans K, à valeurs dans S et égales à x, au point t,, n'est pas
vide (IV, p. 5, prop. 3) ; en outre, si u et v appartiennent à F,, on a, d'après (15)
(IV, P. 9)
eklt-tol - 1
llu(t) - v(t) 11 G 2~
k
pour tout t E K, donc les ensembles F, forment une base de filtre @ qui converge
uniformément dans K vers une fonction continue w, égale à xo au point t,; w prend
ses valeurs dans S, parce que, dès que E est assez petit, les fonctions u E F, prennent leurs valeurs dans une boule fermée contenue dans S. Comme f(t, u(t))
tend uniformément dans K vers f(t, w(t)) suivant @, w satisfait à l'équation (6)
de IV, p. 4, donc est solution de (1). L'unicité de la solution découle aussitôt de
l'inégalité (15) de IV, p. 9, où on fait E, = E, = O et u(t,) = v(t,).
Nous dirons qu'une fonction f définie dans 1 x H est localement l$schitzienne
dans cet ensemble si, pour tout point (t, x) de 1 x H, il existe un voisinage V de t
(par rapport à 1) et un voisinage S de x tels que f soit lipschitzienne dans V x S
(pour une constante k dépendant de V et de S). En vertu du th. de Borel-Lebesgue,
pour tout intervalle compact J 1 et tout point xo G H, il existe une boule
ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f soit lipschitzienne dans J x S;
f satisfait donc aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3. Lorsque f est localement
lipschitzienne dans 1 x H, nous dirons que l'équation x' = f(t, x) est localement
l$schitzienne dans 1 x H.
Nous allons généraliser et préciser le th. 1 de IV, p. 10 pour les équations
localement lipschitziennes; nous nous bornerons au cas oh to est l'origine de l'intervalle 1; on passe aisément de là au cas où to est un point quelconque de 1 (cf. IV,
IV, p. 9, corollaire).