No 4
THÉORÈMES D'EXISTENCE
F V R IV.9
Appliquant le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2) à cette inégalité, il
vient, puisque z(to) = O
d'où
et comme w ( t ) < ~ ( t )
+ y(t), o n obtient ainsi (13).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction lipschitzienne pour la constante k > 0, déJinie dans
1 x H. Si u et v sont deux solutions approchées de ( 1 ) à cl et E, près respectivement, d$nies
dans 1 et prenant leurs valeurs dans H , on a, pour tout t E 1,
Cette inégalité est e n effet une conséquence immédiate de (9) lorsque t > to;
pour la démontrer lorsque t < to, il suffit de l'appliquer à l'équation
déduite d e ( 1 ) par le changement de variable t = -S.
Remarques. - 1) Lorsque k = 0, l'inégalité (15) est remplacée par l'inégalité
dont la démonstration est immédiate.
2) Lorsque E est de dimensionfmzie, et que f est lipschitzienne dans 1 x H, on
peut démontrer l'existence de solutions approchées de l'équation (1) (IV, p. 5, prop.
3) sans utiliser l'axiome de choix (IV, p. 37, exerc. 1 b)).
PROPOSITION 6. -Soient f et g deux fonctions d&nies dans 1 x H , satisfaisant aux
conditions du lemme 1 de I V , p. 3, et telles que, dans 1 x H ,
On suppose en outre que g soit lipschitzienne pour la constante k > O dans 1 x H. Dans
ces conditions, si u est une solution approchée de x' = f(t, x) à cl près, d$nie dans 1, à
valeurs dans H , et v une solution approchée de x' = g(t, x) à E, près, déjïnie dans 1, à
valeurs dans H , on a, pour tout t E 1
(17)
Ilu(t) - v ( t ) 1 1 G Iju(t,) - v(to) 1 1 ekit-tOl + (cc i - E