FVR IV.8
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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De la relation [[u1(t) - f(t, u(t)) 1 1 < cl, valable dans le complémentaire
d'un ensemble dénombrable, on déduit, par application du th. des accroissements
finis
et de même
D'après la condition de Lipschitz (S), on a
d'où, en posant w(t) = I[u(t) - v(t) 1 1 ,
La proposition est alors conséquence du lemme suivant:
Lemme 2. - Si, dans tintervalle (t,, t,), w est une fonction numérique continue satisfaisant
*
à l'inégalité
où

Posons en effet y(t) = 1 : k(s)w(s) ds; la relation (12) entraîne que, dans le
complémentaire d'un ensemble dénombrable, on a
En posant z(t) = y (t)exp( - j:o k(s) ds), la relation (14) équivaut à
t
z f ( t ) < cp(t)k(t) exp (- k(s) ds).
6.