No 4
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.7
4. Comparaison des solutions approchées
Dans ce qui suit, 1 et H désignent, comme ci-dessus, un intervalle contenu dans
R et un ensemble ouvert dans l'espace normé E, respectivement; to est un point
de 1.
DÉFINITION 1. - Etant donnée une fonction numérique positiue t t-t k(t) déJinie dans 1,
on dit qu'une application f de I x H dans E est lipschitzienne pour la fonction k(t) si,
pour tout x E H, la fonction t i-t f(t, x) est reglée dans 1, et si, pour tout t E 1 et tout
couple de points x,, x, de H, on a ((( condition de Lipschitz >>)
On dira que f est lipschitzienne (sans préciser) dans 1 x H si elle est lipschitzienne dans cet ensemble pour une certaine constante k 3 0. Il est immédiat
qu'une fonction lipschitzienne dans 1 x H satisfait aux conditions du lemme 1
de IV, p. 3 (la réciproque étant inexacte); lorsque f est lipschitzienne (dans
1 x H), on dit que l'équation différentielle
(1)
x' = f(t, X)
est lipschitzienne (dans 1 x H).
Exemple. - Lorsque E = , et que H est un intervalle dans R, si en tout point
(t, x) de I x H la fonction f (t, x) admet une dérivée partieilef; (II, p. 24) telle que
1 f; (t, x) 1 Q k(t) dans 1 x W, la condition (8) est vérifiée en vertu du th. des
accroissements finis; nous verrons plus tard comment cet exemple se généralise
au cas où E est un espace normé quelconque.
Si f est lipschitzienne dans 1 x H, pour tout intervalle compact J c 1 et
toute boule ouverte S c H, f est bornée dans J x S. La prop. 3 (IV, p. 5) est
donc applicable, et démontre l'existence de solutions approchées de l'équation
(1). Mais on a en outre la proposition suivante, qui permet de comparer deux
solutions approchées :
PROPOS~TION 5. - Soient k(t) une fonction numérique réglée et > O dans 1, f(t, x) une
fonction définie et lipschitzienne pour la fonction k(t) dans 1 x H. Si u et v sont deux
solutions approchées de l'équation (1) à E, et E, près respectivement, définies dans 1 et prenant
leurs ualeurs dans H, on a, pour tout t E 1 tel que t 2 t,,
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.7
4. Comparaison des solutions approchées
Dans ce qui suit, 1 et H désignent, comme ci-dessus, un intervalle contenu dans
R et un ensemble ouvert dans l'espace normé E, respectivement; to est un point
de 1.
DÉFINITION 1. - Etant donnée une fonction numérique positiue t t-t k(t) déJinie dans 1,
on dit qu'une application f de I x H dans E est lipschitzienne pour la fonction k(t) si,
pour tout x E H, la fonction t i-t f(t, x) est reglée dans 1, et si, pour tout t E 1 et tout
couple de points x,, x, de H, on a ((( condition de Lipschitz >>)
On dira que f est lipschitzienne (sans préciser) dans 1 x H si elle est lipschitzienne dans cet ensemble pour une certaine constante k 3 0. Il est immédiat
qu'une fonction lipschitzienne dans 1 x H satisfait aux conditions du lemme 1
de IV, p. 3 (la réciproque étant inexacte); lorsque f est lipschitzienne (dans
1 x H), on dit que l'équation différentielle
(1)
x' = f(t, X)
est lipschitzienne (dans 1 x H).
Exemple. - Lorsque E = , et que H est un intervalle dans R, si en tout point
(t, x) de I x H la fonction f (t, x) admet une dérivée partieilef; (II, p. 24) telle que
1 f; (t, x) 1 Q k(t) dans 1 x W, la condition (8) est vérifiée en vertu du th. des
accroissements finis; nous verrons plus tard comment cet exemple se généralise
au cas où E est un espace normé quelconque.
Si f est lipschitzienne dans 1 x H, pour tout intervalle compact J c 1 et
toute boule ouverte S c H, f est bornée dans J x S. La prop. 3 (IV, p. 5) est
donc applicable, et démontre l'existence de solutions approchées de l'équation
(1). Mais on a en outre la proposition suivante, qui permet de comparer deux
solutions approchées :
PROPOS~TION 5. - Soient k(t) une fonction numérique réglée et > O dans 1, f(t, x) une
fonction définie et lipschitzienne pour la fonction k(t) dans 1 x H. Si u et v sont deux
solutions approchées de l'équation (1) à E, et E, près respectivement, définies dans 1 et prenant
leurs ualeurs dans H, on a, pour tout t E 1 tel que t 2 t,,