FVR IV.6
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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début de la démonstration montre qu'on peut prolonger u, dans un intervalle
semi-ouvert d'origine t,, par la fonction x, + c,(t - t,), de sorte que la fonction
prolongée appartienne encore à %, ce qui est absurde. La proposition est donc
démontrée.
Lorsque f est unz-formément continue dans J x S, on peut démontrer la prop. 3 sans
faire usage du th. de Zorn (IV, p. 37, exerc. 1 a)).
PROPOSITION 4. -L'ensemble des solutions approchées de (1) à E près d4nies dmr un
même intervalle K c J, et prenant leurs valeurs dans S, est uniformément équicontinu.
En effet, si arm est une fonction quelconque appartenant à cet ensemble, s et t
deux points de K, on a, d'après le th. des accroissements finis,
COROLLAIRE (théorème de Peano). - Si E est de dimension finie sur R, dans tout
interoalle compact K d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans J et de longueur < r/M, il
existe une solution de (1) à valeurs dans S, Égale à x, au point t,.
En effet, d'après la prop. 3, dès que n est assez grand, il existe une solution
approchée u n de l'équation (1) à l/n près, définie dans K, à valeurs dans S, et
égale à x, au point t,. En outre, à partir d'une certaine valeur de n, un(K) est
contenu dans une boule fermée de centre x, et de rayon < r y indépendant de n.
L'ensemble des u n est équicontinu (prop. 4), et comme E est de dimension finie,
S est relativement compacte dans E, donc pour tout t E K, l'ensemble des u,(t)
est relativement compact dans E. D'après le th. d'Ascoli (TG, X, p. 17, th. 2),
l'ensemble des un est relativement compact dans l'espace F ( K ; E) des applications de K dans E, muni de la topologie de la convergence uniforme. 11 existe
donc une suite (un,) extraite de (un), qui converge uniformément dans K vers
une fonction continue u. On a u(K) c S et par suite t tt f(t, u(t)) est définie
dans K ; en vertu du lemme 1 (IV, p. 3), f(t, un,(t)) converge uniformément vers
f(t, u(t)) dans K ; d'après (IV, p. 4, formule (7)), unfi est primitive d'une fonction
qui tend uniformément vers f (t, u(t)) dans K, donc (II, p. 2, th. 1) u est solution
de (1) dans K, égale à x, au point t,.
Remarques. - 1) Il peut exister une injnité d'intégrales d'une équation différentielle
( l ) , prenant la même valeur en un point donné. Par exemple, l'équation différentielle
scalaire x' = 2dm admet pour intégrales prenant la valeur O au point t = O toutes
les fonctions définies par
u(t) = O
pour - p < t < cr
u(t) = - (t $ P)2 pour
t < -P
u(t) = ( t -
pour
t a c (
quels que soient les nombres positifs GL et 3.
2) Le th. de Peano n'est plus exact lorsque E est un espace normé complet
quelconque de dimension injnie (IV, p. 41, exerc. 18).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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début de la démonstration montre qu'on peut prolonger u, dans un intervalle
semi-ouvert d'origine t,, par la fonction x, + c,(t - t,), de sorte que la fonction
prolongée appartienne encore à %, ce qui est absurde. La proposition est donc
démontrée.
Lorsque f est unz-formément continue dans J x S, on peut démontrer la prop. 3 sans
faire usage du th. de Zorn (IV, p. 37, exerc. 1 a)).
PROPOSITION 4. -L'ensemble des solutions approchées de (1) à E près d4nies dmr un
même intervalle K c J, et prenant leurs valeurs dans S, est uniformément équicontinu.
En effet, si arm est une fonction quelconque appartenant à cet ensemble, s et t
deux points de K, on a, d'après le th. des accroissements finis,
COROLLAIRE (théorème de Peano). - Si E est de dimension finie sur R, dans tout
interoalle compact K d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans J et de longueur < r/M, il
existe une solution de (1) à valeurs dans S, Égale à x, au point t,.
En effet, d'après la prop. 3, dès que n est assez grand, il existe une solution
approchée u n de l'équation (1) à l/n près, définie dans K, à valeurs dans S, et
égale à x, au point t,. En outre, à partir d'une certaine valeur de n, un(K) est
contenu dans une boule fermée de centre x, et de rayon < r y indépendant de n.
L'ensemble des u n est équicontinu (prop. 4), et comme E est de dimension finie,
S est relativement compacte dans E, donc pour tout t E K, l'ensemble des u,(t)
est relativement compact dans E. D'après le th. d'Ascoli (TG, X, p. 17, th. 2),
l'ensemble des un est relativement compact dans l'espace F ( K ; E) des applications de K dans E, muni de la topologie de la convergence uniforme. 11 existe
donc une suite (un,) extraite de (un), qui converge uniformément dans K vers
une fonction continue u. On a u(K) c S et par suite t tt f(t, u(t)) est définie
dans K ; en vertu du lemme 1 (IV, p. 3), f(t, un,(t)) converge uniformément vers
f(t, u(t)) dans K ; d'après (IV, p. 4, formule (7)), unfi est primitive d'une fonction
qui tend uniformément vers f (t, u(t)) dans K, donc (II, p. 2, th. 1) u est solution
de (1) dans K, égale à x, au point t,.
Remarques. - 1) Il peut exister une injnité d'intégrales d'une équation différentielle
( l ) , prenant la même valeur en un point donné. Par exemple, l'équation différentielle
scalaire x' = 2dm admet pour intégrales prenant la valeur O au point t = O toutes
les fonctions définies par
u(t) = O
pour - p < t < cr
u(t) = - (t $ P)2 pour
t < -P
u(t) = ( t -
pour
t a c (
quels que soient les nombres positifs GL et 3.
2) Le th. de Peano n'est plus exact lorsque E est un espace normé complet
quelconque de dimension injnie (IV, p. 41, exerc. 18).