No 3
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.5
Soit (t,, x,) un point de I x 13; f satisfaisant par hypothèse aux conditions
du lemme 1 (IV, p. 3), il existe un voisinage compact Q de t, dans I tel que
f(t, x,) soit bornée dans J, et une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H,
telle que f(t, x) - f(t, x,) soit bornée dans J x S; il en résulte que f(t, x) est
bornée dans J x S. Dans tout ce no, J désignera un intervalle compact, uoisinage de t, dans
1, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, J et S étalzt tels que f soit
bornée dans J x S; M désignera la borne supérieure de Ilf(t, x) II dans J x S.
PROPOSITION 3. - Daru tout interualle compact d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans
J et de longueur < r/(M + E), il existe une solution approchée à E près de l'équation (l), à
valeurs dans S, et égale à x, au point t,.
Nous allons supposer que t, n'est pas l'extrémité de J, et démontrer la proposition pour les intervalles d'origine t,. Soit R l'ensemble des solutions approchées
de (1) à E près, dont chacune prend ses valeurs dans S, est égale à x, au point t,,
et est définie dans un intervalle semi-ouvert (t,, b[ contenu dans J (intervalle
dépendant de la solution approchée que l'on considère). Montrons d'abord que
rJn n'est pas vide. Soit c la limite à droite de f(t, x,) au point t,; d'après le lemme
1 (IV, p. 3), la fonction f(t, X, + ~ ( t
- tO)) a une limite à droite égale à c au
point t,, donc la restriction de la fonction x, + c(t - tO) à un intervalle semiouvert (t,, b( assez petit appartient à R.
Ordonnons l'ensemble % par la relation << u est une restriction de v H, et
montrons que rJn est inductif (E, III, p. 20). Soit (u,) une partie totalement
ordonnée de n, et soit (t,, b, ( l'intervalle où ia, est définie: pour b, < b,, ai, est
donc un prolongement de u,. La réunion des intervalles (t,, b, Q est un intervalle
(t,, b( contenu dans J, et il existe une fonction et une seule u définie dans (t,, b( et
coïncidant avec u, dans (t,, b, ( pour tout cc; parmi les b,, il existe une suite
croissante (b,,) tendant vers b; comme u coïncide avec u,, dans (t,, bu,(, u admet,
en tous les points du complémentaire par rapport à (t,, b[ d'un ensemble dénombrable, une dérivée vérifiant la relation (7), et est donc la borne supérieure de
l'ensemble (u,) dans m.
D'après le th. de Zorn (E, III, p. 20, th. 2), % admet un Clément maximal u,;
nous allons montrer que si (t,, t,[ est l'intervalle où est définie ai,, ou bien t, est
l'extréniité de J, ou bien t, - t, 3 r/(M + E). Raisonnons par l'absurde, en
supposant qu'aucune de ces deux hypothèses ne soit vérifiée; montrons d'abord
qu'on peut prolonger u, par continuité au point t, : en effct, quels que soient s et t
dans (t,, t,[, on a
d'après le th. des accroissements finis; le critère de Cauchy montre donc que U,
admet une limite à gauche x, 6 S au point t,. Soit alors cl la limite à droite au
point t, de la fonction f(t, x,) ; on a ~IC, II < M; le même raisonnement qu'au
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.5
Soit (t,, x,) un point de I x 13; f satisfaisant par hypothèse aux conditions
du lemme 1 (IV, p. 3), il existe un voisinage compact Q de t, dans I tel que
f(t, x,) soit bornée dans J, et une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H,
telle que f(t, x) - f(t, x,) soit bornée dans J x S; il en résulte que f(t, x) est
bornée dans J x S. Dans tout ce no, J désignera un intervalle compact, uoisinage de t, dans
1, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, J et S étalzt tels que f soit
bornée dans J x S; M désignera la borne supérieure de Ilf(t, x) II dans J x S.
PROPOSITION 3. - Daru tout interualle compact d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans
J et de longueur < r/(M + E), il existe une solution approchée à E près de l'équation (l), à
valeurs dans S, et égale à x, au point t,.
Nous allons supposer que t, n'est pas l'extrémité de J, et démontrer la proposition pour les intervalles d'origine t,. Soit R l'ensemble des solutions approchées
de (1) à E près, dont chacune prend ses valeurs dans S, est égale à x, au point t,,
et est définie dans un intervalle semi-ouvert (t,, b[ contenu dans J (intervalle
dépendant de la solution approchée que l'on considère). Montrons d'abord que
rJn n'est pas vide. Soit c la limite à droite de f(t, x,) au point t,; d'après le lemme
1 (IV, p. 3), la fonction f(t, X, + ~ ( t
- tO)) a une limite à droite égale à c au
point t,, donc la restriction de la fonction x, + c(t - tO) à un intervalle semiouvert (t,, b( assez petit appartient à R.
Ordonnons l'ensemble % par la relation << u est une restriction de v H, et
montrons que rJn est inductif (E, III, p. 20). Soit (u,) une partie totalement
ordonnée de n, et soit (t,, b, ( l'intervalle où ia, est définie: pour b, < b,, ai, est
donc un prolongement de u,. La réunion des intervalles (t,, b, Q est un intervalle
(t,, b( contenu dans J, et il existe une fonction et une seule u définie dans (t,, b( et
coïncidant avec u, dans (t,, b, ( pour tout cc; parmi les b,, il existe une suite
croissante (b,,) tendant vers b; comme u coïncide avec u,, dans (t,, bu,(, u admet,
en tous les points du complémentaire par rapport à (t,, b[ d'un ensemble dénombrable, une dérivée vérifiant la relation (7), et est donc la borne supérieure de
l'ensemble (u,) dans m.
D'après le th. de Zorn (E, III, p. 20, th. 2), % admet un Clément maximal u,;
nous allons montrer que si (t,, t,[ est l'intervalle où est définie ai,, ou bien t, est
l'extréniité de J, ou bien t, - t, 3 r/(M + E). Raisonnons par l'absurde, en
supposant qu'aucune de ces deux hypothèses ne soit vérifiée; montrons d'abord
qu'on peut prolonger u, par continuité au point t, : en effct, quels que soient s et t
dans (t,, t,[, on a
d'après le th. des accroissements finis; le critère de Cauchy montre donc que U,
admet une limite à gauche x, 6 S au point t,. Soit alors cl la limite à droite au
point t, de la fonction f(t, x,) ; on a ~IC, II < M; le même raisonnement qu'au