FVR IV.4
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
4 1
Dans toute la suite de ce paragraphe, 1 désignera un intervalle contenu dans IR et non
réduit à un point, H un ensemble ouvert non vide contenu dans l'espace normé E, f une applicatioîl de 1 x H dans E satisfaisant aux conditions du lemme 1.
PROPOSITION 1. - Soient t, un point de 1, x, un point de H; pour qu'une fonction continue u
soit une solution de l'équation ( 1 ) dans 1 et prenne la valeur x, au point t,, il faut et il su@t
qu'elle vérijie la relation
t
( 6 )
u ( t ) = x , + f ( s , u ( s ) ) d s
pour tout t E 1.
S , .
E n effet, d'après le lemme 1, si u est solution d e ( 1 ) dans 1, f(t, u ( t ) ) est
réglée, donc le sccond membre de ( 6 ) est défini et égal à u ( t ) pour tout t E 1.
Réciproquemcnt, si u est u n e fonction continue satisfaisant à (6), f(t, u ( t ) ) est
réglée d'après le lemme 1, donc u a pour dérivée f(t, u ( t ) ) sauf aux points d'une
partie dénombrable de 1.
COROLLAIRE. - En tout point de 1 distinct de l'origine (resp. de l'extrémité) de cet intervalle, toute solution u de ( 1 ) dans I admet une dérivée à gauche (resp. à droite) égale à la
limite à gauche (resp. à droite) de f(t, u ( t ) ) en cepoint.
PROPOSITION 2. - Si f est une application continue de 1 x H dans E, toute solution de
l'équation ( 1 ) dans 1 est une solution stricte.
E n effet, u n e telle solution u est primitivc de la fonction continue f(t, u ( t ) )
( I I , p. 16, prop. 3).
O n notera d'ailleurs qu'une fonction f continue dans 1 x H vérifie l e conditions du
lemme 1 (TG, X, p. 13, cor. 3).
Dans cc qui suit, nous allons nous donner arbitrairement t, E 1 et x, E H, et
chercher s'il existe dans I (ou dans un voisinage de t, par rapport à 1) des solutions d c ( 1 ) prcnant la valeur w, a u point t, (ou, ce qui rcvient au même, des
solutions de ( 6 ) ) .
3. Existence de solutions approchées
Étant donné un nombre E > O, nous dirons qu'une application continue u de
1 dans H est une solution approchée à E près de l'équation différentielle
x' = f (t, x)
si, e n tous les points d u coniplémentaire par rapport à 1 d'un ensemble dénombrable,
u admet u n e dérivée qui satisfait à la condition
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
4 1
Dans toute la suite de ce paragraphe, 1 désignera un intervalle contenu dans IR et non
réduit à un point, H un ensemble ouvert non vide contenu dans l'espace normé E, f une applicatioîl de 1 x H dans E satisfaisant aux conditions du lemme 1.
PROPOSITION 1. - Soient t, un point de 1, x, un point de H; pour qu'une fonction continue u
soit une solution de l'équation ( 1 ) dans 1 et prenne la valeur x, au point t,, il faut et il su@t
qu'elle vérijie la relation
t
( 6 )
u ( t ) = x , + f ( s , u ( s ) ) d s
pour tout t E 1.
S , .
E n effet, d'après le lemme 1, si u est solution d e ( 1 ) dans 1, f(t, u ( t ) ) est
réglée, donc le sccond membre de ( 6 ) est défini et égal à u ( t ) pour tout t E 1.
Réciproquemcnt, si u est u n e fonction continue satisfaisant à (6), f(t, u ( t ) ) est
réglée d'après le lemme 1, donc u a pour dérivée f(t, u ( t ) ) sauf aux points d'une
partie dénombrable de 1.
COROLLAIRE. - En tout point de 1 distinct de l'origine (resp. de l'extrémité) de cet intervalle, toute solution u de ( 1 ) dans I admet une dérivée à gauche (resp. à droite) égale à la
limite à gauche (resp. à droite) de f(t, u ( t ) ) en cepoint.
PROPOSITION 2. - Si f est une application continue de 1 x H dans E, toute solution de
l'équation ( 1 ) dans 1 est une solution stricte.
E n effet, u n e telle solution u est primitivc de la fonction continue f(t, u ( t ) )
( I I , p. 16, prop. 3).
O n notera d'ailleurs qu'une fonction f continue dans 1 x H vérifie l e conditions du
lemme 1 (TG, X, p. 13, cor. 3).
Dans cc qui suit, nous allons nous donner arbitrairement t, E 1 et x, E H, et
chercher s'il existe dans I (ou dans un voisinage de t, par rapport à 1) des solutions d c ( 1 ) prcnant la valeur w, a u point t, (ou, ce qui rcvient au même, des
solutions de ( 6 ) ) .
3. Existence de solutions approchées
Étant donné un nombre E > O, nous dirons qu'une application continue u de
1 dans H est une solution approchée à E près de l'équation différentielle
x' = f (t, x)
si, e n tous les points d u coniplémentaire par rapport à 1 d'un ensemble dénombrable,
u admet u n e dérivée qui satisfait à la condition