No 2
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.3
uniforme de fonctions en escalier; une condition équivalente est qu'en tout point
intérieur à 1, u ait une limite à droite et une limite à gauche, ainsi qu'une limite
à droite à l'origine de I et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces
points appartiennent à 1 (II, p. 5, th. 3). Nous allons dans ce chapitre nous
restreindre aux équations différentielles ( 1 ) dont toute solution est une primitive
d'une fonction réglée dans 1. Cette condition est évidemment satisfaite si, pour toute
application continue ai de I dans H, la fonction f(t, u ( t ) ) est réglée dans 1; le
lemme suivant donne une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi:
Lemme 1. - Soit f une application de 1 x H dans E telle que, en désignant par fx (pour
tout x E H ) l'application t i-t f ( t , x) de 1 dans E, les conditions suivantes soient réalisées:
l 0 fx est réglée dans 1 pour tout x E H ; 2, l'application x ++ f, de H dans l'ensemble
T(1, E ) des applications de 1 dans E est continue quand on munit F ( I , E ) de la topologie
de la convergence compacte (TG, X , p. 04). Dans ces conditions:
1" Pour toute application continue u de 1 dans H, la fonction t i-t f(t, u ( t ) ) est
réglée dans 1; de f a p précise, la limite à droite (resp. à gauche) de cette fonction en un
point t, E 1 est égale à la limite à droite (resp. à gauche) de la fonction t i-t f(t, u ( t , ) ) au
point t,.
2" S i (un) est une suite d'applications de 1 dans H, qui converge unformément vers une
application continue u de I dans H, dans toute partie compacte de 1, la suite des fonctions
f ( t , u n ( t ) ) converge uniformément vers f(t, u ( t ) ) dans toute partie compacte de I .
l o Soit c la limite à droite de f(t, ~ ( t , ) )
au point t,; pour tout E > O, il existe
un voisinage compact V de t, dans I tel que l'on ait jlf(t, u(t,)) - cl1 < E pour
t E V et t > t,. D'autre part, il existe 8 > O tel que les relations
entraînent I/f(s, x) - f(s, u ( t , ) ) 1 1 < E pour tout s E V; si W c V est un voisinage
de t, dans 1 tel que l'on ait / l u ( t ) - u(t,) I I < S pour tout t E MT, on aura donc
j/f(t, ~ ( t ) )
- cl1 < 2o pour t E W et t > t,, ce qui prouve que c est limite à
droite de f (t, ~ ( t ) )
au point t,.
2" Soit K une partie compacte de 1; comme u est continue dans 1, u ( K ) est
une partie compacte de H; pour tout E > O et tout x E u ( K ) il existe un nombre
8, telque, poury E H, / / y - XII < 8, et pour tout t E K , on ait I/f(t, y) - f(t, x) I / < E.
Il existe un nombre fini de points xi E u ( K ) tels que les boules fermées de centre
xi et de rayon 4 S, , forment un recouvrement de u ( K ) ; soit S = Min (8,,). Par
hypothèse, il existe un entier no tel que pour n 2 no, on ait IIuEi,(t) - u ( t ) /j < $8
pour tout t E K. Or, pour tout t E K , il existe un indice i tel que
par suite, on a I/un(t) - x i 1 1 < S,,, d'où /If(t, u , ( t ) ) -
tout t E K et tout n 2 no.
THÉORÈMES D'EXISTENCE
FVR IV.3
uniforme de fonctions en escalier; une condition équivalente est qu'en tout point
intérieur à 1, u ait une limite à droite et une limite à gauche, ainsi qu'une limite
à droite à l'origine de I et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces
points appartiennent à 1 (II, p. 5, th. 3). Nous allons dans ce chapitre nous
restreindre aux équations différentielles ( 1 ) dont toute solution est une primitive
d'une fonction réglée dans 1. Cette condition est évidemment satisfaite si, pour toute
application continue ai de I dans H, la fonction f(t, u ( t ) ) est réglée dans 1; le
lemme suivant donne une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi:
Lemme 1. - Soit f une application de 1 x H dans E telle que, en désignant par fx (pour
tout x E H ) l'application t i-t f ( t , x) de 1 dans E, les conditions suivantes soient réalisées:
l 0 fx est réglée dans 1 pour tout x E H ; 2, l'application x ++ f, de H dans l'ensemble
T(1, E ) des applications de 1 dans E est continue quand on munit F ( I , E ) de la topologie
de la convergence compacte (TG, X , p. 04). Dans ces conditions:
1" Pour toute application continue u de 1 dans H, la fonction t i-t f(t, u ( t ) ) est
réglée dans 1; de f a p précise, la limite à droite (resp. à gauche) de cette fonction en un
point t, E 1 est égale à la limite à droite (resp. à gauche) de la fonction t i-t f(t, u ( t , ) ) au
point t,.
2" S i (un) est une suite d'applications de 1 dans H, qui converge unformément vers une
application continue u de I dans H, dans toute partie compacte de 1, la suite des fonctions
f ( t , u n ( t ) ) converge uniformément vers f(t, u ( t ) ) dans toute partie compacte de I .
l o Soit c la limite à droite de f(t, ~ ( t , ) )
au point t,; pour tout E > O, il existe
un voisinage compact V de t, dans I tel que l'on ait jlf(t, u(t,)) - cl1 < E pour
t E V et t > t,. D'autre part, il existe 8 > O tel que les relations
entraînent I/f(s, x) - f(s, u ( t , ) ) 1 1 < E pour tout s E V; si W c V est un voisinage
de t, dans 1 tel que l'on ait / l u ( t ) - u(t,) I I < S pour tout t E MT, on aura donc
j/f(t, ~ ( t ) )
- cl1 < 2o pour t E W et t > t,, ce qui prouve que c est limite à
droite de f (t, ~ ( t ) )
au point t,.
2" Soit K une partie compacte de 1; comme u est continue dans 1, u ( K ) est
une partie compacte de H; pour tout E > O et tout x E u ( K ) il existe un nombre
8, telque, poury E H, / / y - XII < 8, et pour tout t E K , on ait I/f(t, y) - f(t, x) I / < E.
Il existe un nombre fini de points xi E u ( K ) tels que les boules fermées de centre
xi et de rayon 4 S, , forment un recouvrement de u ( K ) ; soit S = Min (8,,). Par
hypothèse, il existe un entier no tel que pour n 2 no, on ait IIuEi,(t) - u ( t ) /j < $8
pour tout t E K. Or, pour tout t E K , il existe un indice i tel que
par suite, on a I/un(t) - x i 1 1 < S,,, d'où /If(t, u , ( t ) ) -
tout t E K et tout n 2 no.