FVR IV.2
ÉQUATIONS DIFF RENTIELLES
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(<( équations résolues par rapport à x' >)), f désignant une fonction à valeurs dans
E, définie dans I x H, où H est une partie ouuerte non vide de E. Nous élargirons
d'autre part un pcu la notion de solution (ou iîtégrale) d'une telle équation (dans
l'intervalle 1) : nous dirons qu'une fonction u définie et continue dans 1, à valeurs
dans H, est une solution (ou intégrale) de i'équation (1) s'il existe une partie
dénombrable A de I telle qu'en tout point t du complémentaire de A par rapport à
1, in adnxtte une dérivée u f ( t ) t e k que uf(t) = f(t, ~ ( t ) ) .
Si u est dérivable et
vérifie la relation précédente en tout point t E 1, nous dirons que c'est une solution
stricte de l'équation (1) dans 1.
Dans Ir cas particulier d'une équation différentielle de la forme x' = f (t), f
étant une application dc I dans E, les solutions au sens précédent sont les primitives
de la fonction f (II[, p. l ) , et les solutions strictes sont lespri9nitiues ~trictes.
Lorsque E est un ~roduit d'espaces normés complets E, (1 < i < n), on peut
écrire x = (x,) ,,,,, ct f = (B;) ,,,,, où x, est unc application de 1 dans E,, et
f, une application de 1 x H dans E,; l'équation (1) est alors équivalente au
rystème d'équations rlz&entielles
(2)
xi = f,(t,x1,x2 ,..., xn)
(1 < i < n).
Lc cas le plus important est celui où tous les Ei sont égaux à R ou à C; on dit
alors que (2) est un système d'équations différentielles scalaires.
A l'6tucle des systèmes (2) se ramènc celle des relations de la forme
(3)
x(") = f (t, X, x f , . . . , x(n - 1))
où x est une fonction vcctorielle n fois dérivable dans 1: en posant en effet
x, = x, x, = x(,-l) pour 2 < f < n, la relation (3) est équivalente au système
Une relation dc la forme (3) est appelée équation dzfirentielle d'ordre n (résolue
par rapport à x(IL)); par opposition, les équations de la forme (1) sont dites
Cquations différentielies du premier ordre.
O n ramène dc même à un système de la [orme (2) tout (( systkme d'équations
àil-Tcrentirllrs de la forme
(5)
Dn%xi = f,(t, XI, Dxl, . . . , D n l - l ~ l ,
. . . , xp, D x p . . . , Dnp-lxp)
( 1 < i < p), où xi est une fonction ni fois dérivable dans 1 (pour 1 < i < fi).
2. Équations diRérentielles admettant gour solutiolas des primitives de fonctions
réglées
Rappelons (II, p. 4, déf. 3) qu'une fonction vcctorielle an définie dans un
intervalle I c R est dite réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite
ÉQUATIONS DIFF RENTIELLES
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(<( équations résolues par rapport à x' >)), f désignant une fonction à valeurs dans
E, définie dans I x H, où H est une partie ouuerte non vide de E. Nous élargirons
d'autre part un pcu la notion de solution (ou iîtégrale) d'une telle équation (dans
l'intervalle 1) : nous dirons qu'une fonction u définie et continue dans 1, à valeurs
dans H, est une solution (ou intégrale) de i'équation (1) s'il existe une partie
dénombrable A de I telle qu'en tout point t du complémentaire de A par rapport à
1, in adnxtte une dérivée u f ( t ) t e k que uf(t) = f(t, ~ ( t ) ) .
Si u est dérivable et
vérifie la relation précédente en tout point t E 1, nous dirons que c'est une solution
stricte de l'équation (1) dans 1.
Dans Ir cas particulier d'une équation différentielle de la forme x' = f (t), f
étant une application dc I dans E, les solutions au sens précédent sont les primitives
de la fonction f (II[, p. l ) , et les solutions strictes sont lespri9nitiues ~trictes.
Lorsque E est un ~roduit d'espaces normés complets E, (1 < i < n), on peut
écrire x = (x,) ,,,,, ct f = (B;) ,,,,, où x, est unc application de 1 dans E,, et
f, une application de 1 x H dans E,; l'équation (1) est alors équivalente au
rystème d'équations rlz&entielles
(2)
xi = f,(t,x1,x2 ,..., xn)
(1 < i < n).
Lc cas le plus important est celui où tous les Ei sont égaux à R ou à C; on dit
alors que (2) est un système d'équations différentielles scalaires.
A l'6tucle des systèmes (2) se ramènc celle des relations de la forme
(3)
x(") = f (t, X, x f , . . . , x(n - 1))
où x est une fonction vcctorielle n fois dérivable dans 1: en posant en effet
x, = x, x, = x(,-l) pour 2 < f < n, la relation (3) est équivalente au système
Une relation dc la forme (3) est appelée équation dzfirentielle d'ordre n (résolue
par rapport à x(IL)); par opposition, les équations de la forme (1) sont dites
Cquations différentielies du premier ordre.
O n ramène dc même à un système de la [orme (2) tout (( systkme d'équations
àil-Tcrentirllrs de la forme
(5)
Dn%xi = f,(t, XI, Dxl, . . . , D n l - l ~ l ,
. . . , xp, D x p . . . , Dnp-lxp)
( 1 < i < p), où xi est une fonction ni fois dérivable dans 1 (pour 1 < i < fi).
2. Équations diRérentielles admettant gour solutiolas des primitives de fonctions
réglées
Rappelons (II, p. 4, déf. 3) qu'une fonction vcctorielle an définie dans un
intervalle I c R est dite réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite