CHAPITRE IV
Equations di rentielles
§ 1. THÉORRMES D'EXISTENCE
1. La notion d'équation différentielle
Soient 1 un intervalle contenu dans W et non réduit à un point, E un espace
vectoriel topologique sur R, A et B deux parties ouvertcs de E. Soit (x, y, t) » g(x, y, t )
une application de A x B x I dans E; à toute application dérivable ai de 1 dans
A, dont la dérivée prend ses valeurs dans B, faisons correspondre l'application
t t . g(u(t), uil(t), t) de 1 dans E, que nous désignerons par g(u); g est donc
définie dans l'ensemble 9 ( A , B) des applications dérivables de P dans A, dont la
dérivée prend ses valeurs dans B. Nous dirons que l'équation g(u) = O est une
équation dz$éentielle en u (relativement à la variable réelle t) ; une solutio?~ de cette
équation est encore appeléc int&rale de I'équation différentielle (dans l'intervalle
1) ; c'est donc une application dérivable de P dans A, dont la dérivée prend ses
valeurs dans B, et qui est telle quc g(u(t), ul(t), t) = O pour tout t E I. Par abus
de langage, nous écrirons l'équation différentielle g(u) = O sous la forme
dx, x ' , t ) = O,
étant sous-entendu que x est un élément dc l'ensemble 9 ( A , B)
Par exemple, pour 1 = E = R, les relations
X' = 2t,
tx' - 2 x = O,
xt2 - 4 x = O,
x - t2 = O
sont des équations differentielles, qui admettent toutes quatre pour solution la fonction x ( t ) = t2.
Dans ce chapitre, nous ne considérerons en principe que le cas où E est un
espace normé complet sur R, et où les équations différentielles sont de la forme
particulière
(1)
x' = f(t, x)