NOTE HISTORIQUE
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là toute la <( métaphysique D du calcul infinitésimal. Mais ces sages avis n'ont pas
eu de suite immédiate. Le monumental ouvrage de Lagrange (XXVII) représente une tentative de fonder I'analyse sur l'une des plus discutables conceptions
newtoniennes, celle qui confond les notions de fonction arbitraire et de fonction
développable en série de puissances, et de tirer de là (par la considération du
coefficient du terme du premier ordre dans la série) la notion de différentiation.
Bien entendu, un mathématicien de la valeur de Lagrange ne pouvait manquer
d'obtenir à cette occasion des résultats importants et utiles, comme par exemple
(et d'une manière en réalité indépendante du point de départ que nous venons
d'indiquer) la démonstration générale de la formule de Taylor avec l'expression
du reste par une intégrale, et son évaluation par le théorème de la moyenne; du
reste l'œuvre de Lagrange est à l'origine de la méthode de Weierstrass en théorie
des fonctions d'une variable complexe, ainsi que de la théorie algébrique moderne
des séries formelles. Mais, du point de vue de son objet immédiat, elle représente
un recul plutôt qu'un progrès.
Avec les ouvrages d'enseignement de Cauchy, au contraire (XXVIII), on se
retrouve enfin sur un terrain solide. Il définit une fonction essentiellement comme
nous le faisons aujourd'hui, bien que dans un langage encore un peu vague. La
notion de limite, fixée une fois pour toutes, est prise pour point de départ; celles
de fonction continue (au sens moderne) et de dérivée s'en déduisent immédiatement, ainsi que leurs principales propriétés élémentaires; et l'existence de la
dérivée, au lieu d'être un article de foi, devient une question à étudier par les
moyens ordinaires de l'analyse. Cauchy, à vrai dire, ne s'y intéresse guère; et
d'autre part, si Bolzano, parvenu de son côté aux mêmes principes, construisit un
exemple de fonction continue n'ayant de dérivée finie en aucun point (XXIX),
cet exemple ne fut pas publié, et la question ne fut publiquement tranchée que
par Weierstrass, dans un travail de 1872 (et, dans ses cours dès 1861) (XXXII).
En ce qui concerne l'intégration, 19euvre de Cauchy représente un retour aux
saines traditions de l'antiquité et de la première partie du xvne siècle, mais
appuyé sur des moyens techniques encore insuffisants. L'intégrale définie, passée
trop longtemps au second pIan, redevient la notion primordiale, pour laquelle
Cauchy fait adopter définitivement la notation fa f (x) dx proposée par Fourier
x = b
(au lieu de l'incommode f f (x) dx
[X = a]
parfois employé par Euler) ; et, pour la
définir, Cauchy revient à la méthode d'exhaustion, ou comme nous dirions, aux
sommes de Riemann >> (qu'il vaudrait mieux nommer sommes d'Archimède, ou
sommes d'Eudoxe). Il est vrai que le X V I I ~ siècle n'avait pas jugé à propos de
soumettre à un examen critique la notion d'aire, qui lui avait paru au moins
aussi claire que celle de nombre réel incommensurable; mais la convergence des
sommes << de Riemann vers l'aire sous la courbe, tant qu'il s'agit d'une courbe
monotone ou monotone par morceaux, était une notion familière à tous les
auteurs soucieux de rigueur au X V I I ~ siècle, Fermat, Pascal, Barrow; et J. Gregory,
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là toute la <( métaphysique D du calcul infinitésimal. Mais ces sages avis n'ont pas
eu de suite immédiate. Le monumental ouvrage de Lagrange (XXVII) représente une tentative de fonder I'analyse sur l'une des plus discutables conceptions
newtoniennes, celle qui confond les notions de fonction arbitraire et de fonction
développable en série de puissances, et de tirer de là (par la considération du
coefficient du terme du premier ordre dans la série) la notion de différentiation.
Bien entendu, un mathématicien de la valeur de Lagrange ne pouvait manquer
d'obtenir à cette occasion des résultats importants et utiles, comme par exemple
(et d'une manière en réalité indépendante du point de départ que nous venons
d'indiquer) la démonstration générale de la formule de Taylor avec l'expression
du reste par une intégrale, et son évaluation par le théorème de la moyenne; du
reste l'œuvre de Lagrange est à l'origine de la méthode de Weierstrass en théorie
des fonctions d'une variable complexe, ainsi que de la théorie algébrique moderne
des séries formelles. Mais, du point de vue de son objet immédiat, elle représente
un recul plutôt qu'un progrès.
Avec les ouvrages d'enseignement de Cauchy, au contraire (XXVIII), on se
retrouve enfin sur un terrain solide. Il définit une fonction essentiellement comme
nous le faisons aujourd'hui, bien que dans un langage encore un peu vague. La
notion de limite, fixée une fois pour toutes, est prise pour point de départ; celles
de fonction continue (au sens moderne) et de dérivée s'en déduisent immédiatement, ainsi que leurs principales propriétés élémentaires; et l'existence de la
dérivée, au lieu d'être un article de foi, devient une question à étudier par les
moyens ordinaires de l'analyse. Cauchy, à vrai dire, ne s'y intéresse guère; et
d'autre part, si Bolzano, parvenu de son côté aux mêmes principes, construisit un
exemple de fonction continue n'ayant de dérivée finie en aucun point (XXIX),
cet exemple ne fut pas publié, et la question ne fut publiquement tranchée que
par Weierstrass, dans un travail de 1872 (et, dans ses cours dès 1861) (XXXII).
En ce qui concerne l'intégration, 19euvre de Cauchy représente un retour aux
saines traditions de l'antiquité et de la première partie du xvne siècle, mais
appuyé sur des moyens techniques encore insuffisants. L'intégrale définie, passée
trop longtemps au second pIan, redevient la notion primordiale, pour laquelle
Cauchy fait adopter définitivement la notation fa f (x) dx proposée par Fourier
x = b
(au lieu de l'incommode f f (x) dx
[X = a]
parfois employé par Euler) ; et, pour la
définir, Cauchy revient à la méthode d'exhaustion, ou comme nous dirions, aux
sommes de Riemann >> (qu'il vaudrait mieux nommer sommes d'Archimède, ou
sommes d'Eudoxe). Il est vrai que le X V I I ~ siècle n'avait pas jugé à propos de
soumettre à un examen critique la notion d'aire, qui lui avait paru au moins
aussi claire que celle de nombre réel incommensurable; mais la convergence des
sommes << de Riemann vers l'aire sous la courbe, tant qu'il s'agit d'une courbe
monotone ou monotone par morceaux, était une notion familière à tous les
auteurs soucieux de rigueur au X V I I ~ siècle, Fermat, Pascal, Barrow; et J. Gregory,