FVR 111.64
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
des courbes planes, aux équations différentielles, aux séries de puissances, au
calcul des variations, dont il a déjà été question plus haut, viennent s'ajouter la
géométrie différentielle des courbes gauches, puis des surfaces, les intégrales
multiples, les équations aux dérivées partielles, les séries trigonométriques,
l'étude de nombreuses fonctions spéciales, et bien d'autres types de problèmes,
dont l'histoire sera exposée dans les Livres qui leur seront consacrés. Nous
n'avons à nous occuper ici que des travaux qui ont contribué à mettre au point,
approfondir et consolider les principes mêmes du calcul infinitésimal, en ce qui
concerne les fonctions d'une variable réelle.
De ce point de vue, les grands traités du milieu du XVIII~ siècle n'offrent que
peu de nouveautés. Maclaurin enAngleterrel, Euler sur le continent (XXV a et b),
restent fidèles aux traditions dont chacun d'eux est l'héritier. Il est vrai que le
premier s'efforce de clarifier quelque peu les conceptions newtoniennes2 tandis
que le second, poussant le formalisme leibnizien à l'extrême, se contente, comme
Leibniz et Taylor, de faire reposer le calcul différentiel sur un passage à la limite
fort obscur à partir du calcul des différences, calcul dont il donne du reste un
exposé fort soigné. Mais surtout Euler achève l'euvre de Leibniz en introduisant et faisant adopter les notations encore aujourd'hui en usage pour
e, i, et les fonctions trigonométriques, et répandant la notation x. D'autre
part, et si le plus souvent il ne fait pas de distinction entre fonctions et expressions analytiques, il insiste, à propos de séries trigonométriques et du problème des cordes vibrantes, sur la nécessité de ne pas se borner aux fonctions
ainsi définies (et qu'il qualifie de (( continues >)), mais de considérer aussi, le cas
échéant, des fonctions arbitraires, ou a discontinues )>, données expérimentalement
par un ou plusieurs arcs de courbe ((XXV c), p. 74-91). Enfin, bien que cela
sorte quelque peu de notre cadre, il n'est pas possible de ne pas mentionner ici
son extension de la fonction exponentielle au domaine complexe, d'où il tire les
célèbres formules liant lYexponentieIle aux fonctions trigonométriques, ainsi
que la définition du logarithme d'un nombre complexe; par là se trouve élucidée
définitivement la fameuse analogie entre logarithme et fonctions circulaires
réciproques, ou, dans le langage du X V I I ~ siècle, entre les quadratures du cercle et
de l'hyperbole, observée déjà par Grégoire de St. Vincent, précisée par Huygens
et surtout par J. Gregory, et qui, chez Leibniz et Bernoulli, était apparue dans
1
2
-
2
l'intégration formelle de - =
1 + x 2 2 ( x + i )
2 ( x - i )
D'Alembert cependant, ennemi de toute mystique en mathématique comme
ailleurs, avait, dans de remarquables articles (XXVI), défini avec la plus grande
clarté les notions de limite et de dérivée, et soutenu avec force qu'au fond c'est
l C . MACLAURIN, A comjlete treatise ofj¶uuxbns, Edimburgh, 1742.
Elles avaient fort besoin, en effet, d'être défendues contre les attaques philosophico-théologicohumoristiques du fameux évêque Berkeley. D'après celui-ci, qui croit aux fluxions ne doit pas trouver fort difficile de prêter foi aux mystères de la religion: argument ad hominem, qui ne manquait ni de
logique ni de piquant.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
des courbes planes, aux équations différentielles, aux séries de puissances, au
calcul des variations, dont il a déjà été question plus haut, viennent s'ajouter la
géométrie différentielle des courbes gauches, puis des surfaces, les intégrales
multiples, les équations aux dérivées partielles, les séries trigonométriques,
l'étude de nombreuses fonctions spéciales, et bien d'autres types de problèmes,
dont l'histoire sera exposée dans les Livres qui leur seront consacrés. Nous
n'avons à nous occuper ici que des travaux qui ont contribué à mettre au point,
approfondir et consolider les principes mêmes du calcul infinitésimal, en ce qui
concerne les fonctions d'une variable réelle.
De ce point de vue, les grands traités du milieu du XVIII~ siècle n'offrent que
peu de nouveautés. Maclaurin enAngleterrel, Euler sur le continent (XXV a et b),
restent fidèles aux traditions dont chacun d'eux est l'héritier. Il est vrai que le
premier s'efforce de clarifier quelque peu les conceptions newtoniennes2 tandis
que le second, poussant le formalisme leibnizien à l'extrême, se contente, comme
Leibniz et Taylor, de faire reposer le calcul différentiel sur un passage à la limite
fort obscur à partir du calcul des différences, calcul dont il donne du reste un
exposé fort soigné. Mais surtout Euler achève l'euvre de Leibniz en introduisant et faisant adopter les notations encore aujourd'hui en usage pour
e, i, et les fonctions trigonométriques, et répandant la notation x. D'autre
part, et si le plus souvent il ne fait pas de distinction entre fonctions et expressions analytiques, il insiste, à propos de séries trigonométriques et du problème des cordes vibrantes, sur la nécessité de ne pas se borner aux fonctions
ainsi définies (et qu'il qualifie de (( continues >)), mais de considérer aussi, le cas
échéant, des fonctions arbitraires, ou a discontinues )>, données expérimentalement
par un ou plusieurs arcs de courbe ((XXV c), p. 74-91). Enfin, bien que cela
sorte quelque peu de notre cadre, il n'est pas possible de ne pas mentionner ici
son extension de la fonction exponentielle au domaine complexe, d'où il tire les
célèbres formules liant lYexponentieIle aux fonctions trigonométriques, ainsi
que la définition du logarithme d'un nombre complexe; par là se trouve élucidée
définitivement la fameuse analogie entre logarithme et fonctions circulaires
réciproques, ou, dans le langage du X V I I ~ siècle, entre les quadratures du cercle et
de l'hyperbole, observée déjà par Grégoire de St. Vincent, précisée par Huygens
et surtout par J. Gregory, et qui, chez Leibniz et Bernoulli, était apparue dans
1
2
-
2
l'intégration formelle de - =
1 + x 2 2 ( x + i )
2 ( x - i )
D'Alembert cependant, ennemi de toute mystique en mathématique comme
ailleurs, avait, dans de remarquables articles (XXVI), défini avec la plus grande
clarté les notions de limite et de dérivée, et soutenu avec force qu'au fond c'est
l C . MACLAURIN, A comjlete treatise ofj¶uuxbns, Edimburgh, 1742.
Elles avaient fort besoin, en effet, d'être défendues contre les attaques philosophico-théologicohumoristiques du fameux évêque Berkeley. D'après celui-ci, qui croit aux fluxions ne doit pas trouver fort difficile de prêter foi aux mystères de la religion: argument ad hominem, qui ne manquait ni de
logique ni de piquant.