FVR 111.66
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
particulièrement bien préparé par ses réflexions sur le passage à la limite et sa
familiarité avec une forme déjà fort abstraite du principe des (1 intervalles emboîtés )), en avait même rédigé, parait-il, une démonstration soignée, restée inédite
((XVII bis), p. 445-446)' qui eût pu servir à Cauchy presque sans changement
s'il l'avait connue1. Malheureusement pour lui, Cauchy prétendit démontrer
l'existence de l'intégrale, c'est-à-dire la convergence des (( sommes de Riemann )>,
pour une fonction continue quelconque; et sa démonstration, qui deviendrait
correcte si elle s'appuyait sur le théorème de continuité uniforme des fonctions
continues dans un intervalle fermé, est dénuée de toute valeur probante faute de
cette notion. Dirichlet ne semble pas s'être aperçu non plus de la difficulté au
moment où il rédigeait ses célèbres mémoires sur les séries trigonométriques,
puisqu'il y cite le théorème en question comme facile à démontrer D ((XXX),
p. 136); il est vrai qu'il ne l'applique en définitive qu'aux fonctions bornées,
monotones par morceaux; Riemann, plus circonspect, ne mentionne que ces
dernières lorsqu'il s'agit de faire usage de sa condition nécessaire et suffisante pour
la convergence des (( sommes de Riemann a ((XXXI), p. 227-271). Une fois le
théorème sur la continuité uniforme établi par Heine (cf. TG, II, Note historique
p. 42), la question n'offrit bien entendu plus aucune difficulté; et elle est
aisément tranchée par Darboux en 1875 dans son mémoire sur l'intégration des
fonctions discontinues (XXXIII), mémoire où il se rencontre du reste sur bien
des points avec les importantes recherches de P. du Bois-Reymond, parues vers
la même époque. Du même coup se trouve démontrée pour la première fois, mais
cette fois définitivement, la linéarité de l'intégrale des fonctions continues.
D'autre part, la notion de convergence uniforme d'une suite ou d'une série,
introduite entre autres par Seidel en 1848, et mise en valeur en particulier par
Weierstrass (cf TG, X, Note historique p. 62), avait permis de donner une
base solide, sous des conditions un peu .trop restrictives il est vrai, à l'intégration
des séries terme à terme et à la différentiation sous le signe 1, en attendant les
théories modernes dont nous n'avons pas à parler ici, et qui devaient éclaircir ces
questions d'une manière provisoirement définitive.
Nous avons ainsi atteint à l'étape finale du calcul infinitésimal classique, celle
qui est représentée par les grands Traités d'Analyse de la fin du xlxe siècle; du
point de vue qui nous occupe, celui de Jordan (XXXIV) occupe parmi eux une
place éminente, pour des raisons esthétiques d'une part, mais aussi parce que, s'il
constitue une admirable mise au point des résultats de l'analyse classique, il
annonce à bien des égards l'analyse moderne et lui prépare la voie. Après Jordan
vient Lebesgue, et l'on entre dans le sujet d'un autre Livre du présent ouvrage.
C'est du moins ce qu'indique le résumé donné par Turnbull d'après le manuscrit.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
particulièrement bien préparé par ses réflexions sur le passage à la limite et sa
familiarité avec une forme déjà fort abstraite du principe des (1 intervalles emboîtés )), en avait même rédigé, parait-il, une démonstration soignée, restée inédite
((XVII bis), p. 445-446)' qui eût pu servir à Cauchy presque sans changement
s'il l'avait connue1. Malheureusement pour lui, Cauchy prétendit démontrer
l'existence de l'intégrale, c'est-à-dire la convergence des (( sommes de Riemann )>,
pour une fonction continue quelconque; et sa démonstration, qui deviendrait
correcte si elle s'appuyait sur le théorème de continuité uniforme des fonctions
continues dans un intervalle fermé, est dénuée de toute valeur probante faute de
cette notion. Dirichlet ne semble pas s'être aperçu non plus de la difficulté au
moment où il rédigeait ses célèbres mémoires sur les séries trigonométriques,
puisqu'il y cite le théorème en question comme facile à démontrer D ((XXX),
p. 136); il est vrai qu'il ne l'applique en définitive qu'aux fonctions bornées,
monotones par morceaux; Riemann, plus circonspect, ne mentionne que ces
dernières lorsqu'il s'agit de faire usage de sa condition nécessaire et suffisante pour
la convergence des (( sommes de Riemann a ((XXXI), p. 227-271). Une fois le
théorème sur la continuité uniforme établi par Heine (cf. TG, II, Note historique
p. 42), la question n'offrit bien entendu plus aucune difficulté; et elle est
aisément tranchée par Darboux en 1875 dans son mémoire sur l'intégration des
fonctions discontinues (XXXIII), mémoire où il se rencontre du reste sur bien
des points avec les importantes recherches de P. du Bois-Reymond, parues vers
la même époque. Du même coup se trouve démontrée pour la première fois, mais
cette fois définitivement, la linéarité de l'intégrale des fonctions continues.
D'autre part, la notion de convergence uniforme d'une suite ou d'une série,
introduite entre autres par Seidel en 1848, et mise en valeur en particulier par
Weierstrass (cf TG, X, Note historique p. 62), avait permis de donner une
base solide, sous des conditions un peu .trop restrictives il est vrai, à l'intégration
des séries terme à terme et à la différentiation sous le signe 1, en attendant les
théories modernes dont nous n'avons pas à parler ici, et qui devaient éclaircir ces
questions d'une manière provisoirement définitive.
Nous avons ainsi atteint à l'étape finale du calcul infinitésimal classique, celle
qui est représentée par les grands Traités d'Analyse de la fin du xlxe siècle; du
point de vue qui nous occupe, celui de Jordan (XXXIV) occupe parmi eux une
place éminente, pour des raisons esthétiques d'une part, mais aussi parce que, s'il
constitue une admirable mise au point des résultats de l'analyse classique, il
annonce à bien des égards l'analyse moderne et lui prépare la voie. Après Jordan
vient Lebesgue, et l'on entre dans le sujet d'un autre Livre du présent ouvrage.
C'est du moins ce qu'indique le résumé donné par Turnbull d'après le manuscrit.