FVR 111.62
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
mique, la quadrature de l'hyperbole, le développement en série de log (1 + x),
et même l'adoption du symbole log x ou lx. En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, et bien qu'en un certain sens elles remontent à l'antiquité, il est
intéressant d'observer que la sinusoïde n'apparaît pas d'abord comme définie
par une équation y = sin x, mais bien, chez Roberval ((VI11 a), p. 63-65),
comme (( compagne de la roulette D (en l'espèce, il s'agit de la courbe
c'est-à-dire comme courbe auxiliaire dont la définition est déduite de celle de la
cycloïde. Pour rencontrer la notion générale d9expressioii analytique, il faut en
venir à J. Gregory, qui la définit en 1667 ((XVI bis), p. 413), comme une
quantité qui s'obtient à partir d'autres quantités par une succession d'opérations
algébriques (( ou de toute autre opération imaginable O ; et il essaie de préciser cette
notion dans sa préface ((XVI bis), p. 408409), en expliquant la nécessité
d'adjoindre aux cinq opérations de l'algèbre1 une sixième opération, qui en
définitive n'est autre que le passage à la limite. Mais ces intéressantes réflexions
sont bientôt oubliées, submergées par le torrent des développements en série
découverts par Gregory lui-même, Newton, et d'autres; et le prodigieux succès
de cette dernière méthode crée une confusion durable entre fonctions susceptibles
de définition analytique, et fonctions développables en série de puissances.
Quant à Leibniz, il semble s'en tenir au point de vue cartésien, élargi par
l'adjonction explicite des quadratures, et par l'adjonction implicite des autres
opérations familières à l'analyse de son époque, sommation de séries de puissances,
résolution d'équations différentielles. De même, Johann Bernoulli, lorsqu'il veut
considérer une fonction arbitraire de x, l'introduit comme <( une quantité formée d'une
manière quelconque à partir de x et de constantes D ((XXI), t. II, p. 150), en précisant
parfois qu'il s'agit d'une quantité formée (( d'une manière algébrique ou transcendante ))
((XXI), t. II, p. 324) ; et, en 1698, il se met d'accord avec Leibniz pour donner à
une telle quantité le nom de ((fonction de x D ((XXI), t. III, p. 507-510 et
p. 525-526)2. Déjà Leibniz avait introduit les mots de (( constante O, (( variable r) ,
((paramètre n, et précisé à propos d'enveloppes la notion de famille de courbes
dépendant d'un ou plusieurs paramètres (XXI e). Les questions de notation se
précisent aussi dans la correspondance avec Johann Bernoulli: celui-ci écrit
l Il s'agit des quatre opérations rationnelles, et de l'extraction de racines d'ordre quelconque:
J. Gregory n'a jamais cessé de croire à la possibilité de résoudre par radicaux les équations de tous les
degrés.
Jusque-là, et déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé ce mot comme abréviation
pour désigner une grandeur la longueur de la tangente ou de la normale (limitées à la courbe et à Ox), ou bien la sous-normale, la
sous-tangente, etc., donc en somme une fonction d'un point variable sur une courbe, à définition
géométrico-différentielle. Dans le même manuscrit de 1673, la courbe est supposée définie par une
relation entre x et y, (( donnée par une équation n, mais Leibniz ajoute qu' ( 1 il n'importe pas que la courbe
soit ou non géométrique >> (c'est-à-dire, en notre langage, algébrique) (cf. D, MAHNKE, Abh. Paeuss. Akad.
der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
mique, la quadrature de l'hyperbole, le développement en série de log (1 + x),
et même l'adoption du symbole log x ou lx. En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, et bien qu'en un certain sens elles remontent à l'antiquité, il est
intéressant d'observer que la sinusoïde n'apparaît pas d'abord comme définie
par une équation y = sin x, mais bien, chez Roberval ((VI11 a), p. 63-65),
comme (( compagne de la roulette D (en l'espèce, il s'agit de la courbe
c'est-à-dire comme courbe auxiliaire dont la définition est déduite de celle de la
cycloïde. Pour rencontrer la notion générale d9expressioii analytique, il faut en
venir à J. Gregory, qui la définit en 1667 ((XVI bis), p. 413), comme une
quantité qui s'obtient à partir d'autres quantités par une succession d'opérations
algébriques (( ou de toute autre opération imaginable O ; et il essaie de préciser cette
notion dans sa préface ((XVI bis), p. 408409), en expliquant la nécessité
d'adjoindre aux cinq opérations de l'algèbre1 une sixième opération, qui en
définitive n'est autre que le passage à la limite. Mais ces intéressantes réflexions
sont bientôt oubliées, submergées par le torrent des développements en série
découverts par Gregory lui-même, Newton, et d'autres; et le prodigieux succès
de cette dernière méthode crée une confusion durable entre fonctions susceptibles
de définition analytique, et fonctions développables en série de puissances.
Quant à Leibniz, il semble s'en tenir au point de vue cartésien, élargi par
l'adjonction explicite des quadratures, et par l'adjonction implicite des autres
opérations familières à l'analyse de son époque, sommation de séries de puissances,
résolution d'équations différentielles. De même, Johann Bernoulli, lorsqu'il veut
considérer une fonction arbitraire de x, l'introduit comme <( une quantité formée d'une
manière quelconque à partir de x et de constantes D ((XXI), t. II, p. 150), en précisant
parfois qu'il s'agit d'une quantité formée (( d'une manière algébrique ou transcendante ))
((XXI), t. II, p. 324) ; et, en 1698, il se met d'accord avec Leibniz pour donner à
une telle quantité le nom de ((fonction de x D ((XXI), t. III, p. 507-510 et
p. 525-526)2. Déjà Leibniz avait introduit les mots de (( constante O, (( variable r) ,
((paramètre n, et précisé à propos d'enveloppes la notion de famille de courbes
dépendant d'un ou plusieurs paramètres (XXI e). Les questions de notation se
précisent aussi dans la correspondance avec Johann Bernoulli: celui-ci écrit
l Il s'agit des quatre opérations rationnelles, et de l'extraction de racines d'ordre quelconque:
J. Gregory n'a jamais cessé de croire à la possibilité de résoudre par radicaux les équations de tous les
degrés.
Jusque-là, et déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé ce mot comme abréviation
pour désigner une grandeur la longueur de la tangente ou de la normale (limitées à la courbe et à Ox), ou bien la sous-normale, la
sous-tangente, etc., donc en somme une fonction d'un point variable sur une courbe, à définition
géométrico-différentielle. Dans le même manuscrit de 1673, la courbe est supposée définie par une
relation entre x et y, (( donnée par une équation n, mais Leibniz ajoute qu' ( 1 il n'importe pas que la courbe
soit ou non géométrique >> (c'est-à-dire, en notre langage, algébrique) (cf. D, MAHNKE, Abh. Paeuss. Akad.
der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).