NOTE HISTORIQUE
FVR 111.61
théorie des enveloppes; concurremment avec Johann Bernoulli, il effectue en
1702 et 1703 l'intégration des fractions rationnelles par décomposition en é2éincnts
simples, mais d'abord d'une manière formelle et sans bien se rendre compte des
circonstances qui accompagnent la présence de facteurs linéaires complexes au
dénominateur (XXI g et h). C'est ainsi encore qu'un jour d'août 1697, méditant
en voiture sur des questions de calcul des variations, il a l'idée de la règle de
différentiation par rapport à un paramètre sous le signe f, et, enthousiasmé, la
mande aussitôt à Bernoulli ((XXI), t. III, p. 449-454). Mais lorsqu'il en est là,
les principes fondamentaux de son calcul sont acquis depuis longtemps, et l'usage
a commencé à s'en répandre: l'algébrisation de l'analyse infinitésimale est un
fait accompli.
G) La notion de fonction s'introduit et se précise d'une foule de manières au
cours du xvne siècle. Toute cinématique repose sur une idée intuitive, et en
quelque sorte expérimentale, de quantités variables avec le temps, c'est-à-dire de
fonctions du temps, et nous avons vu déjà comment on aboutit ainsi à la fonction
d'un paramètre, telle qu'elle apparaît chez Barrow, et, sous le nom de fluente,
chez Newton. La notion de ((courbe quelconque O apparaît souvent, mais est
rarement précisée; il se peut que souvent elle ait été conçue sous forme cinématique ou en tout cas expérimentale, et sans qu'on jugeât nécessaire qu'une
courbe soit susceptible d'une caractérisation géométrique ou analytique pour
pouvoir servir d'objet aux raisonnements; il en est ainsi, en particulier (pour des
raisons que nous sommes mieux à même de comprendre aujourd'hui) lorsqu'il
s'agit d'intégration, par exemple chez Cavalieri, Pascal et Barrow; ce dernier,
raisonnant sur la courbe définie par x = ct, y = f ( t ) , avec l'hypothèse que dyldt
soit croissante, dit même expressément qu' G il n'importe en rien )) que dyldt croisse
<( régulièrement suiuant une loi quelconque, ou bien irrégulièrement D ((XVIII), p. 19 1)
c'est-à-dire, comme nous dirions, soit susceptible ou non d'une définition analytique. Malheureusement cette idée claire et féconde, qui devait, convenablement
précisée, reparaître au XIX" siècle, ne pouvait alors lutter contre la confusion
créée par Descartes, lorsque celui-ci avait, en premier lieu, banni de la géométrie fi toutes les courbes non susceptibles d'une définition analytique précise,
et en second lieu restreint aux seules opérations algébriques les procédés de
formation adinissibles dans une telle définition. Il est vrai que, sur ce dernier point,
il n'est pas suivi par la majorité de ses contemporains; peu à peu, et souvent par
des détours fort subtils, diverses opérations transcendantes, le logarithme,
l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, les quadratures, la résolution
d'équations différentielles, le passage à la limite, la sommation des séries,
acquièrent droit de cité, sans qu'il soit facile sur chaque point de marquer le
moment précis où se fait le pas en avant; et d'ailleurs le premier pas en avant est
souvent suivi d'un pas en arrière. Pour le logarithme, par exemple, on doit
considérer comme des étapes importantes l'apparition de la courbe logarithmique (y = aX ou y = log x suivant le choix des axes), de la spirale logarith-
FVR 111.61
théorie des enveloppes; concurremment avec Johann Bernoulli, il effectue en
1702 et 1703 l'intégration des fractions rationnelles par décomposition en é2éincnts
simples, mais d'abord d'une manière formelle et sans bien se rendre compte des
circonstances qui accompagnent la présence de facteurs linéaires complexes au
dénominateur (XXI g et h). C'est ainsi encore qu'un jour d'août 1697, méditant
en voiture sur des questions de calcul des variations, il a l'idée de la règle de
différentiation par rapport à un paramètre sous le signe f, et, enthousiasmé, la
mande aussitôt à Bernoulli ((XXI), t. III, p. 449-454). Mais lorsqu'il en est là,
les principes fondamentaux de son calcul sont acquis depuis longtemps, et l'usage
a commencé à s'en répandre: l'algébrisation de l'analyse infinitésimale est un
fait accompli.
G) La notion de fonction s'introduit et se précise d'une foule de manières au
cours du xvne siècle. Toute cinématique repose sur une idée intuitive, et en
quelque sorte expérimentale, de quantités variables avec le temps, c'est-à-dire de
fonctions du temps, et nous avons vu déjà comment on aboutit ainsi à la fonction
d'un paramètre, telle qu'elle apparaît chez Barrow, et, sous le nom de fluente,
chez Newton. La notion de ((courbe quelconque O apparaît souvent, mais est
rarement précisée; il se peut que souvent elle ait été conçue sous forme cinématique ou en tout cas expérimentale, et sans qu'on jugeât nécessaire qu'une
courbe soit susceptible d'une caractérisation géométrique ou analytique pour
pouvoir servir d'objet aux raisonnements; il en est ainsi, en particulier (pour des
raisons que nous sommes mieux à même de comprendre aujourd'hui) lorsqu'il
s'agit d'intégration, par exemple chez Cavalieri, Pascal et Barrow; ce dernier,
raisonnant sur la courbe définie par x = ct, y = f ( t ) , avec l'hypothèse que dyldt
soit croissante, dit même expressément qu' G il n'importe en rien )) que dyldt croisse
<( régulièrement suiuant une loi quelconque, ou bien irrégulièrement D ((XVIII), p. 19 1)
c'est-à-dire, comme nous dirions, soit susceptible ou non d'une définition analytique. Malheureusement cette idée claire et féconde, qui devait, convenablement
précisée, reparaître au XIX" siècle, ne pouvait alors lutter contre la confusion
créée par Descartes, lorsque celui-ci avait, en premier lieu, banni de la géométrie fi toutes les courbes non susceptibles d'une définition analytique précise,
et en second lieu restreint aux seules opérations algébriques les procédés de
formation adinissibles dans une telle définition. Il est vrai que, sur ce dernier point,
il n'est pas suivi par la majorité de ses contemporains; peu à peu, et souvent par
des détours fort subtils, diverses opérations transcendantes, le logarithme,
l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, les quadratures, la résolution
d'équations différentielles, le passage à la limite, la sommation des séries,
acquièrent droit de cité, sans qu'il soit facile sur chaque point de marquer le
moment précis où se fait le pas en avant; et d'ailleurs le premier pas en avant est
souvent suivi d'un pas en arrière. Pour le logarithme, par exemple, on doit
considérer comme des étapes importantes l'apparition de la courbe logarithmique (y = aX ou y = log x suivant le choix des axes), de la spirale logarith-