FVR 111.60
FONCTIONS D'UNE VARIABLE REELLE
apparition des nouveamx symboles, c'est de voir Leibniz occupé aussitôt A cil
formuler les
d'emploi, se demander si ci(xy) = dx dy ((XXII), p. 16-166),
et se répondre à lui-même par la négative, pour en venir progressivement à la
règle correcte (XXI a), qu'il devait plus tard généraliser par sa fameuse formule
pour dn(xy) ((XXP), t. III, p. 175). Bien entendu, au moment où Leibniz tâtonne
ainsi, Newton sait depuis dix ans dCjà que z = xy entraîne i = iy + xj; mais il
ne prend jamais la peine de le dire, n'y voyant qu'un cas particulier, indignc
d'être nommé, de sa règle pour différentier une relation F(x, y, z) = O entre
fluentes. Au contraire, le principal souci de Leibniz n'est pas de faire servir ses
méthodes à, la résolution de tels problèmes concrets, ni non plus de les déduire de
principes rigourcux et inattaquables, mais avant tout de mettre sur pied un
algorithme reposant sur le maniement formel de quelques règles simples. C'est
dans cet esprit qu'il améliore la notation algébrique par l'emploi dcs parenthèses,
qu'il adopte progressivement log .x ou Zx pour lc logarithme1, et cju7il insiste sur
le c< calcul exponentiel )>, c'est-&-dire la considération systématique d'exponenticlles, aX, xX, xy, où l'exposant est une variable. Surtout, tandis que Newton
n'introduit les fluxions d'ordre supérieur que strictement dans la mesure où elles
sont nécessaires dans chaque cas concret, Leibniz s'oriente de bonne heure vers
la création d'un t( calcul opérationnel >> par l'itération de d et de J; prenant peu à
peu claire conscience de l7analogic entre la nlultiplication des nombres et la composition des opérateurs de son calcul, il adopte, par une hardiesse heureuse, la
notation par exposants pour écrire les itérés de ci, écrivant donc dn pour le n-Cme
itéré ((XXIH), p. 595 et 6012, et (XXI), t. V, p. 221 et 378) et même d-l, d-"
pour 1 et ses itérés ((XXI), t. III, p. 167) ; et il cherche même à donner un sens à
du pour u. réel quelconque ((XXP), t. II, p. 301-302, et t. III, p. 228).
Ce n'est pas à dire que Leibniz ne s'intéresse aussi aux applications de son
calcul, sachant bicn (comme Huygens le lui répète souvent ((XXII), p. 599))
qu'elles en sont la pierre dc touche; mais il manque de patience pour les approfondir, ct y cherche surtout I'oecasion de formuler de nouvelles règles générales.
C'est ainsi qu'en 1686 (XXI c) il traite de la courbure des courbes, et du cercle
osculateur, pour aboutir en 1692 (XXI d) aux principes généraux sur le contact
des courbes planes 3; en 1692 (XXI e) et 1694 (XXIf) il pose Ics bases de la
l Mais il n'a pas de signe pour les fonctions trigonométriques, ni (faute d'un symbole pour e)
pour le « nombre dont le logarithme est x >).
« . . .c'est à peu pres comme si, au lieu des racines et puissances, on uouloit toujours substituer des lettres, et au
lieu de xx, ou x3, prendre m, ou n, après avoir déclaré que ce doivent estre les puirsances de la grandeur x. Jugés,
Mons., combien cela embarasseroit. Il en est de mesme de dx ou de ddx, et les differences ne sont pas moins des
agections des grandeurs indeterminées dans leurs lieux, que les puissances sont des affections d'une grandeur przse à
part. Il me semble donc qu'il est plus naturel de les designer en sorle qu'elles fassent connoistre immediatement la
grandeur dont elles sont les affections. i>
Il commet d'abord IA-dessus une erreur singulière, croyant que le osculateur) a au point dr contact quaire points communs avec la courbe; et il ne se rend qu'avec
peine, par la suitr, aux objections des frères Bernoulli à ce sujet ((XXI), t. III, p. 187-188, 201-202
et 207).
FONCTIONS D'UNE VARIABLE REELLE
apparition des nouveamx symboles, c'est de voir Leibniz occupé aussitôt A cil
formuler les
d'emploi, se demander si ci(xy) = dx dy ((XXII), p. 16-166),
et se répondre à lui-même par la négative, pour en venir progressivement à la
règle correcte (XXI a), qu'il devait plus tard généraliser par sa fameuse formule
pour dn(xy) ((XXP), t. III, p. 175). Bien entendu, au moment où Leibniz tâtonne
ainsi, Newton sait depuis dix ans dCjà que z = xy entraîne i = iy + xj; mais il
ne prend jamais la peine de le dire, n'y voyant qu'un cas particulier, indignc
d'être nommé, de sa règle pour différentier une relation F(x, y, z) = O entre
fluentes. Au contraire, le principal souci de Leibniz n'est pas de faire servir ses
méthodes à, la résolution de tels problèmes concrets, ni non plus de les déduire de
principes rigourcux et inattaquables, mais avant tout de mettre sur pied un
algorithme reposant sur le maniement formel de quelques règles simples. C'est
dans cet esprit qu'il améliore la notation algébrique par l'emploi dcs parenthèses,
qu'il adopte progressivement log .x ou Zx pour lc logarithme1, et cju7il insiste sur
le c< calcul exponentiel )>, c'est-&-dire la considération systématique d'exponenticlles, aX, xX, xy, où l'exposant est une variable. Surtout, tandis que Newton
n'introduit les fluxions d'ordre supérieur que strictement dans la mesure où elles
sont nécessaires dans chaque cas concret, Leibniz s'oriente de bonne heure vers
la création d'un t( calcul opérationnel >> par l'itération de d et de J; prenant peu à
peu claire conscience de l7analogic entre la nlultiplication des nombres et la composition des opérateurs de son calcul, il adopte, par une hardiesse heureuse, la
notation par exposants pour écrire les itérés de ci, écrivant donc dn pour le n-Cme
itéré ((XXIH), p. 595 et 6012, et (XXI), t. V, p. 221 et 378) et même d-l, d-"
pour 1 et ses itérés ((XXI), t. III, p. 167) ; et il cherche même à donner un sens à
du pour u. réel quelconque ((XXP), t. II, p. 301-302, et t. III, p. 228).
Ce n'est pas à dire que Leibniz ne s'intéresse aussi aux applications de son
calcul, sachant bicn (comme Huygens le lui répète souvent ((XXII), p. 599))
qu'elles en sont la pierre dc touche; mais il manque de patience pour les approfondir, ct y cherche surtout I'oecasion de formuler de nouvelles règles générales.
C'est ainsi qu'en 1686 (XXI c) il traite de la courbure des courbes, et du cercle
osculateur, pour aboutir en 1692 (XXI d) aux principes généraux sur le contact
des courbes planes 3; en 1692 (XXI e) et 1694 (XXIf) il pose Ics bases de la
l Mais il n'a pas de signe pour les fonctions trigonométriques, ni (faute d'un symbole pour e)
pour le « nombre dont le logarithme est x >).
« . . .c'est à peu pres comme si, au lieu des racines et puissances, on uouloit toujours substituer des lettres, et au
lieu de xx, ou x3, prendre m, ou n, après avoir déclaré que ce doivent estre les puirsances de la grandeur x. Jugés,
Mons., combien cela embarasseroit. Il en est de mesme de dx ou de ddx, et les differences ne sont pas moins des
agections des grandeurs indeterminées dans leurs lieux, que les puissances sont des affections d'une grandeur przse à
part. Il me semble donc qu'il est plus naturel de les designer en sorle qu'elles fassent connoistre immediatement la
grandeur dont elles sont les affections. i>
Il commet d'abord IA-dessus une erreur singulière, croyant que le osculateur) a au point dr contact quaire points communs avec la courbe; et il ne se rend qu'avec
peine, par la suitr, aux objections des frères Bernoulli à ce sujet ((XXI), t. III, p. 187-188, 201-202
et 207).