FVR 111.58
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
expressément Pascal, par exemple, lorsque dans sa correspondance avec Johann
Bernoulli ((XXI), t. III, p. 156), se référant à ses premières recherches, il donne
une formule de calcul des différences qui est un cas particulier de celle de Newton,
m
dny xn
et en déduit par G passage à la limite ii la formule y = 1 ( - 1)" - - (où y est
dxn'n!
une fonction s'annulant pour x = O, et les dny/dxn sont ses dérivées pour la valeur
x de la variable), formule équivalente à une semblable que vient de lui communiquer Bernoulli ((XXI), t. III, p. 150) et (XXIV), t. 1, p. 125-128), et que
celui-ci démontre par intégrations par parties successives. Cette formule, comme
on voit, est très voisine de la série de Taylor; et c'est le raisonnement même de
Leibniz, par passage à la limite à partir du calcul des diflérences, que Taylor
retrouvc en 1715 pour obtenir (( sa )> série1, sans d'ailleurs faire de celle-ci grand
usage.
F) On aura déjà aperçu, implicite dans l'évolution décrite plus haut, l'algébrisation progressive de l'analyse infinitésimale, c'est-à-dire sa réduction à un
calcul opérationnel muni d'un système de notations uniforme de caractère algébrique. Comme Leibniz l'a maintes fois indiqué avec une parfaite netteté
((XXI b) p. 230-233), il s'agissait de faire pour la nouvellc analyse ce que Viète
avait fait pour la théorie des équations, et Descartes pour la géométrie. Pour en
comprendre la nécessité, il n'est que de lire quelques pages de Barrow; à aucun
moment on ne peut se passer d'avoir sous les yeux une figure parfois compliquée,
décrite au préalable avec un soin minutieux; il ne faut pas moins de 180 figures
pour les 100 pages (Lcct. V-XII) qui forment l'essentiel de l'ouvrage.
Il ne pouvait guère êtrc question d'algébrisation, il est vrai, avant que quelque unit6 ne fût apparue à travers la multiplicité des apparences géométriques.
Cependant Grégoire de St. Vincent (IX) déjà introduit (sous le nom de <( ductus
plani in planum O) une sorte dc loi de composition qui revient à l'emploi systématique d'intégrales
f (x)g(x) dx considérées comme volumes de solides
a < x < b, O < y < f (x), O 6 z < g(x) ; mais il est loin d'en tirer les conséquences que plus tard Pascal déduit, comme: on a vu, de l'étude du même solide.
Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages
de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent
des énoncés qu'on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral
dès qu'on en a compris le mécanisme. Le langage de Pascal est particulierement
clair et précis; et, si l'on ne comprend pas pourquoi il s'est refusé l'usage des
B. TAYLOR, Methodm Incremenlorum directa et inversa, Lond., 1715. Pour le calcul des différences,
Taylor pouvait naturellement s'appuyer sur les résultats de Newton, contenus dans un lemme
fameux des Princifiia ((XX), Livre III, lemme 5) et publiés plus amplement en 1711 (XIX d).
Quant à l'idée dc passer à la limite, elle semble typiquement leibnizienne; et l'on aurait peine à
croire à l'originalité de Taylor sur ce point si on ne connaissait de iout temps maints exemples de
disciples ignorants de tout hormis des écrits de leur maître et patron. Taylor ne cite ni Leibniz ni
Bernoulli; mais la controverse Newton-Leibniz faisait rage, Taylor Ctait secrétaire de la Royal Society
et Sir Isaac en était le tout-puissant président.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
expressément Pascal, par exemple, lorsque dans sa correspondance avec Johann
Bernoulli ((XXI), t. III, p. 156), se référant à ses premières recherches, il donne
une formule de calcul des différences qui est un cas particulier de celle de Newton,
m
dny xn
et en déduit par G passage à la limite ii la formule y = 1 ( - 1)" - - (où y est
dxn'n!
une fonction s'annulant pour x = O, et les dny/dxn sont ses dérivées pour la valeur
x de la variable), formule équivalente à une semblable que vient de lui communiquer Bernoulli ((XXI), t. III, p. 150) et (XXIV), t. 1, p. 125-128), et que
celui-ci démontre par intégrations par parties successives. Cette formule, comme
on voit, est très voisine de la série de Taylor; et c'est le raisonnement même de
Leibniz, par passage à la limite à partir du calcul des diflérences, que Taylor
retrouvc en 1715 pour obtenir (( sa )> série1, sans d'ailleurs faire de celle-ci grand
usage.
F) On aura déjà aperçu, implicite dans l'évolution décrite plus haut, l'algébrisation progressive de l'analyse infinitésimale, c'est-à-dire sa réduction à un
calcul opérationnel muni d'un système de notations uniforme de caractère algébrique. Comme Leibniz l'a maintes fois indiqué avec une parfaite netteté
((XXI b) p. 230-233), il s'agissait de faire pour la nouvellc analyse ce que Viète
avait fait pour la théorie des équations, et Descartes pour la géométrie. Pour en
comprendre la nécessité, il n'est que de lire quelques pages de Barrow; à aucun
moment on ne peut se passer d'avoir sous les yeux une figure parfois compliquée,
décrite au préalable avec un soin minutieux; il ne faut pas moins de 180 figures
pour les 100 pages (Lcct. V-XII) qui forment l'essentiel de l'ouvrage.
Il ne pouvait guère êtrc question d'algébrisation, il est vrai, avant que quelque unit6 ne fût apparue à travers la multiplicité des apparences géométriques.
Cependant Grégoire de St. Vincent (IX) déjà introduit (sous le nom de <( ductus
plani in planum O) une sorte dc loi de composition qui revient à l'emploi systématique d'intégrales
f (x)g(x) dx considérées comme volumes de solides
a < x < b, O < y < f (x), O 6 z < g(x) ; mais il est loin d'en tirer les conséquences que plus tard Pascal déduit, comme: on a vu, de l'étude du même solide.
Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages
de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent
des énoncés qu'on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral
dès qu'on en a compris le mécanisme. Le langage de Pascal est particulierement
clair et précis; et, si l'on ne comprend pas pourquoi il s'est refusé l'usage des
B. TAYLOR, Methodm Incremenlorum directa et inversa, Lond., 1715. Pour le calcul des différences,
Taylor pouvait naturellement s'appuyer sur les résultats de Newton, contenus dans un lemme
fameux des Princifiia ((XX), Livre III, lemme 5) et publiés plus amplement en 1711 (XIX d).
Quant à l'idée dc passer à la limite, elle semble typiquement leibnizienne; et l'on aurait peine à
croire à l'originalité de Taylor sur ce point si on ne connaissait de iout temps maints exemples de
disciples ignorants de tout hormis des écrits de leur maître et patron. Taylor ne cite ni Leibniz ni
Bernoulli; mais la controverse Newton-Leibniz faisait rage, Taylor Ctait secrétaire de la Royal Society
et Sir Isaac en était le tout-puissant président.