NOTE HISTORIQUE
FVR 111.57
transparent et si précis qu'on peut immédiatement le transcrire en formules
comme il vient d'être fait. Chez Pascal comme chez ses prédécesseurs, mais d'une
manière beaucoup plus nette et systématique, le choix de la variable indépendante (qui est toujours l'une des coordonnées, ou bien l'arc sur la courbe) est
implicite dans la convention qui fixe les points de subdivision équidistants (bien
qu'c( infiniment voisins w) de l'intervalle d'intégration; ces points, suivant le cas,
sont, soit sur Ox, soit sur Oy, soit sur l'arc de courbe, et Pascal prend soin de ne
jamais laisser subsister aucune ambiguïté à ce sujet ((XII b), p. 368-369).
Lorsqu'il a à c h a ~ g e r
de variable, il le fait au moyen d'un principe qui revient à
dire que l'aire J" f (x) dx peut s'écrire S( f (xi) Ax,) pour toute subdivision de
l'intervalle d'intégration en intervalles infiniment petits Axi, égaux ou non
((XII d), p. 61-68).
Comme on voit, on est déjà tout près de Leibniz; et c'est, peut-on dire, un
hasard heureux que celui-ci, lorsqu'il voulut s'initier aux mathématiques modernes, ait rencontré Huygens, qui lui mit aussitôt les écrits de Pascal entre les
mains ((XXII), p. 407-408) ; il y était particulièrement préparé par ses réflexions
sur l'analyse combinatoire, et nous savons qu'il en fit une étude approfondie, qui
se réflète dans son œuvre. En 1675, nous le voyons transcrire le théorème de
Pascal cité ci-dessus, sous la forme omn(xw) = x.omn w - omn(omn a), où
omn w est une abréviation pour l'intégrale de w prise de O à x, à laquelle Leibniz, quelques jours plus tard, substitue J" w (initiale de (( summa omnium w n) en
même temps qu'il introduit d pour la (( différence )) infiniment petite, ou, comme
il dira bientôt, la différentielle ((XXII), p. 147-167). Concevant ces (( différences >>
comme des grandeurs comparables entre elles mais non aux grandeurs finies, il
prend d'ailleurs le plus souvent, explicitement ou non, la différentielle dx de la
variable indépendante x comme unité, dx = 1 (ce qui revient à identifier la différentielle dy avec la dérivée dyldx), et au début l'omet de sa notation de l'intégrale,
qui apparaît donc comme ly plutôt que comme Iy dx; mais il ne tarde guère à
introduire celle-ci, et s'y tient systématiquement une fois qu'il en aperçoit le
caractère invariant par rapport au choix de la variable indépendante, qui dispense
d'avoir ce choix constamment présent à l'esprit1; et il ne marque pas peu de
satisfaction, lorsqu'il revient à l'étude de Barrow qu'il avait jusque-là nCgligé, en
constantant que le théorème général de changement de variable, dont Barrow
faisait si grand cas, découle immédiatement de sa propre notation ((XXII),
p. 412). En tout ceci du reste, il se tient très près du calcul des différences, dont
son calcul différentiel se déduit par un passage à la limite que bien entendu il
serait fort en peine de justifier rigoureusement; et par la suite il insiste volontiers
sur le fait que ses principes s'appliquent indifféremment à l'un et à l'autre. Il cite
* a J'avertis qu'on prenne garde de ne pas omettre dx.. . faute fréquemment commise, et qui empêche d'aller de
l'avant, du fait qu'on ôte par là à ces indivisibles, comme ici dx, leur généralité.. . dc laquelle naissent d'innombrables transJigurations et équipollences dejgures. D ( ( X X I b ) , p. 233).
FVR 111.57
transparent et si précis qu'on peut immédiatement le transcrire en formules
comme il vient d'être fait. Chez Pascal comme chez ses prédécesseurs, mais d'une
manière beaucoup plus nette et systématique, le choix de la variable indépendante (qui est toujours l'une des coordonnées, ou bien l'arc sur la courbe) est
implicite dans la convention qui fixe les points de subdivision équidistants (bien
qu'c( infiniment voisins w) de l'intervalle d'intégration; ces points, suivant le cas,
sont, soit sur Ox, soit sur Oy, soit sur l'arc de courbe, et Pascal prend soin de ne
jamais laisser subsister aucune ambiguïté à ce sujet ((XII b), p. 368-369).
Lorsqu'il a à c h a ~ g e r
de variable, il le fait au moyen d'un principe qui revient à
dire que l'aire J" f (x) dx peut s'écrire S( f (xi) Ax,) pour toute subdivision de
l'intervalle d'intégration en intervalles infiniment petits Axi, égaux ou non
((XII d), p. 61-68).
Comme on voit, on est déjà tout près de Leibniz; et c'est, peut-on dire, un
hasard heureux que celui-ci, lorsqu'il voulut s'initier aux mathématiques modernes, ait rencontré Huygens, qui lui mit aussitôt les écrits de Pascal entre les
mains ((XXII), p. 407-408) ; il y était particulièrement préparé par ses réflexions
sur l'analyse combinatoire, et nous savons qu'il en fit une étude approfondie, qui
se réflète dans son œuvre. En 1675, nous le voyons transcrire le théorème de
Pascal cité ci-dessus, sous la forme omn(xw) = x.omn w - omn(omn a), où
omn w est une abréviation pour l'intégrale de w prise de O à x, à laquelle Leibniz, quelques jours plus tard, substitue J" w (initiale de (( summa omnium w n) en
même temps qu'il introduit d pour la (( différence )) infiniment petite, ou, comme
il dira bientôt, la différentielle ((XXII), p. 147-167). Concevant ces (( différences >>
comme des grandeurs comparables entre elles mais non aux grandeurs finies, il
prend d'ailleurs le plus souvent, explicitement ou non, la différentielle dx de la
variable indépendante x comme unité, dx = 1 (ce qui revient à identifier la différentielle dy avec la dérivée dyldx), et au début l'omet de sa notation de l'intégrale,
qui apparaît donc comme ly plutôt que comme Iy dx; mais il ne tarde guère à
introduire celle-ci, et s'y tient systématiquement une fois qu'il en aperçoit le
caractère invariant par rapport au choix de la variable indépendante, qui dispense
d'avoir ce choix constamment présent à l'esprit1; et il ne marque pas peu de
satisfaction, lorsqu'il revient à l'étude de Barrow qu'il avait jusque-là nCgligé, en
constantant que le théorème général de changement de variable, dont Barrow
faisait si grand cas, découle immédiatement de sa propre notation ((XXII),
p. 412). En tout ceci du reste, il se tient très près du calcul des différences, dont
son calcul différentiel se déduit par un passage à la limite que bien entendu il
serait fort en peine de justifier rigoureusement; et par la suite il insiste volontiers
sur le fait que ses principes s'appliquent indifféremment à l'un et à l'autre. Il cite
* a J'avertis qu'on prenne garde de ne pas omettre dx.. . faute fréquemment commise, et qui empêche d'aller de
l'avant, du fait qu'on ôte par là à ces indivisibles, comme ici dx, leur généralité.. . dc laquelle naissent d'innombrables transJigurations et équipollences dejgures. D ( ( X X I b ) , p. 233).